Riotte & Forte, dénombrement classement ou figuration ?

[Les nombres ne servent que de repères.
L'exactitude quantitative des nombres est un idéal irréel.
Dans le monde de la musique, personne n'est jamais d'accord ; c'est ça qui génère la diversité des oeuvres.
La musique est à l'opposé de la politique où l'élu oblige tout le monde à être d'accord (avec lui). MS]

2 théoriciens de 2 continents [parmi d'autres] ont ressenti dans les années 70 du XXe siècle la nécessité de désigner et dénombrer les modes et les accords possibles dans l'échelle cyclique symétrique octaviante de 12 1/2 tons inutilisés dans le système tonal [1]. André Riotte qui à partir de la théorie des cribles de Iannis Xenakis identifie les modes possibles avec « les classes de résidus modulo x ». Les « résidus » sont les notes du mode (incluses dans l'échelle), le modulo (reste de la division) désigne par extension le cycle de notes. De l'autre côté, Allen Forte dénombre tous (tous ?) les accords possibles dans l'échelle octaviante de 12 1/2 tons, principalement pour entendre ce que la théorie tonale ignore des accords ne constituant pas sa théorie. Dans une échelle de 12 tons qui divise n'importe quel cycle/ambitus, il existe 3521 modes possibles de 5 à 11 tons [2]. Avec la généralisation de la théorie des cribles, André Riotte s'attache + à la découverte par calculs, de modes inouïs, jusqu'aux « modes courbes » qui ignorent l'8ve, tel que : 0 2 3 4 6 8 9 11 13 ... « modes dont les rapports d'intervalles s'élèvent d'1/2 ton à chaque nouveau cycle » et dont il extrait des accords. Allen Forte lui réalise une classification de tous les accords possibles de Z12 de 3 à 9 tons qu'il range dans des ensembles de classes de hauteurs (= pitch class set) [le principe des pcs est introduit par Milton Babbitt].

Il existe 2 manières de chiffrer un mode ou un accord : soit on chiffre le n° de la note dans l'échelle 12 de 0 à 11 (ou de 1 à 12), soit on chiffre l'intervalle de 1 à 12. Dans une échelle de 12 tons (qui peut diviser tout cycle/ambitus), il existe 4016 accords intérieurs de 3 à 11 tons [3].

L'atonalité nécessaire au début du XXe siècle, par épuisement des possibles de la tonalité, a obligé les compositeurs à considérer les autres modes et les autres accords ignorés du système tonal. La direction que prirent la majorité des compositeurs fut la voie de la polymodalité (dans la même monoscalairité). Stravinsky, Bartok, Messiean, même Boulez à la fin de sa vie, et tous les autres savaient que la diversité des sonorités donnée par la polymodalité échappait à la monotonie du dodécaphonisme puis du sérialisme (même intégral) à combiner les mêmes 12 intervalles en série de la même échelle. Le nombre de dispositions différentes des séries possibles s'élève à 12! = 479 001 600. Mais cette abondance de possible sonne toujours les mêmes 12 intervalles à chaque nouvelle série ou à chaque différente combinaison de la même série = peu importe la disposition de la série, à chaque série entendue, on réentend les mêmes 12 intervalles de l'échelle. Les groupes [gruppen] de Stockhausen n'y ont rien fait. On peut même avancer que la sonorité modale de la musique sérielle est « chromatique » (distinguée du diatonique et de l'enharmonique : 3 ensembles de familles de modes de la Grèce antique).

À la question :
Comment ranger (= ordonner) « pour se figurer tous les liens » entre les modes et les accords inutilisés par l'ancien système tonal [hiérarchisé à partir de l'accord octaviant nommé « parfait » (l'est-il ? et en quoi l'est-il ?) par Jen-Philippe Rameau] de 12 1/2 tons ?

Riotte ne propose pas de classement (ni de rangement, ni d'ordre) [ni de bottin mondain ou dictionnaire des modes et des accords prêts à l'usage]. De tous les modes et accords, il décrit la forme des modes par leur modulo : nombre de notes restant par cycle avec leur congruence (= modes octaviants) et leur non-congruence (= modes nonoctaviants). Les modes non-congruents de Z12 augmentent la famille modale de l'échelle. Riotte distingue les modes courbes non-congruants convexes et les modes courbes non-congruant concaves où les convexes dépassent l'8ve (avec répétitivité supérieure à 12) et les concaves restent à l'intérieur (à répétitivité supérieure à 6 et inférieure à 12). Riotte propose une figuration (= une formalisation) des structures des modes et des accords à partir de la théorie des cribles proposée par Iannis Xenakis en 1965. Riotte fournit et développe des opérations pour former et identifier les modes et les accords. Une recette par composition avec mêmes ou différents ingrédients ? Aux compositeurs de constituer leurs propres structures élémentaires de modes et d'accords pour leurs compositions. À chaque compositeur ses propres choix et son propre mode de rangement et opératoire pour chacune de ses compositions.

Forte développe les ensembles de classes des hauteurs [= pitch class set] commencés par Milton Babbitt. Pitch désigne une note/hauteur, pas un intervalle. Forte donne la raison de son classement par l'idée discriminatoire entre ordonné et désordonné, entre normal et anormal : ça, commence mal ! Un ensemble d'accords dit-il est le nombre de permutations d'un accord [avec l'opération permutation : factoriel [x!], un accord à 2 intervalles = à 3 tons donne 6 dispositions d'un accord. Avec 4! = 24, un accord à 4 tons a 24 dispositions. Avec 5! = 120, un accord à 5 tons a 120 dispositions. Etc.] Il réduit l'opération permutation [factorielle] à la « permutation circulaire » ; celle utilisée au moyen-âge pour diversifier la même forme modale, puis celle servant en harmonie aux renversements des accords. La permutation circulaire avec 3 éléments abc donne : bca et cab. Les 3 autres : bac, acb et cba sont ignorés. La permutation circulaire correspond pour 3 notes au 1er et au 2d renversement du même accord [4]. 3 dispositions différentes du même accord. Mais uniquement dans un système octaviant [forcément cyclique] et symétrique. Il existe 92 échelles 8viantes de ⁵√2 à ⁹⁶√2 dont la moitié sont symétriques parce qu'elles ont une division paire de l'8ve. Ces similarités d'accords renversés n'existent pas dans un système nonoctaviant même cyclique et symétrique. L' échelle octaviante de 12 divisions forcément cyclique et symétrique [la division paire de l'8ve donne toujours le même intervalle de 4+ = √2 ; toutes les échelles symétriques ont une division paire] reproduit les mêmes positions par son cycle symétrique et à chaque étage [registre] octaviant du cycle. Le classement de Forte des accords [de 3 tons au cluster 12] et modes [de 5 tons à 11 tons, il ne va pas jusque-là] prend en compte les mêmes accords transposés et renversés pour détecter les similarités des différents accords pour son classement. Si on considère dans l'accord les intervalles et non les hauteurs [= bornes/marches de l'échelle], la détection des similarités est immédiate. Son classement semble a priori arbitraire ou propre à sa logique : on [avec les sérialistes du XXe siècle] fait toujours l'erreur de désigner les accords par leurs hauteurs. Mais les accords s'identifient par leurs intervalles, peu importe où ils se trouvent. Cette tentative de classes d'ensembles des accords donne-t-elle à percevoir des liens logiques (même illogiques) entre eux ? et pourrait-elle être généralisée à toutes les divisions scalaires (de 5 à 127 et au-delà) de toutes les échelles cycliques et acycliques, octaviantes et nonoctaviantes possibles ? La réponse est négative : les opérations de transposition et de renversement [permutation circulaire] à obtenir des « différences du même » est propre au système tonal [5]. Comment alors dans un système atonalisé repérer les relations qui créent des liens entre les accords et quels liens ? Le lien qui relie 2 accords pour Tom Jonhson par exemple est au mois une note commune entre 2 accords différents [6]. Forte dénombre 220 ensembles de classes de hauteurs. Est-ce pour les 4016 accords différents, identifiés par la composition de leurs intervalles, pour toute échelle de 12 pas ? Non.

La théorie de la musique sert de mise en cohérence des éléments qui la composent.

• La cohérence du système tonal est homocentrique basée sur l'accord (en notes) 0 4 7 (<=> dans la notation du conservatoire : 1 5 8) ou (en intervalles) 4 3 (<=> 3ce M + 3ce m <=> tonique tierce majeure + tonique quinte), avec tous les autres altérés qui tournent autour. Les « cadences harmoniques » (suites d'accords conclusifs ou suspensifs) confirment un final sur cet accord « centre du monde parfait » pataugé ou évité.

• La cohérence de la théorie des champs polyscalaires est la coïncidence entre échelles ou les phases et les déphasages que leurs simultanéités provoquent. Tout bouge dans un champ. Et l'échelle entière bouge dans le champ audible. Le diapason est en constance ou inconstance, mobile ou pas, ce qui provoque les phases et les déphasages, les coïncidences et les décoïncidences scalaires. Tout est au pluriel, car en +, plusieurs champs sont possibles simultanés à « l'entente de l'audition » = à la musique .

Un champ scalaire se forme d'un ensemble d'échelles en interactions internes (au champ) et externe (au champ = entre différents champs) qui se distingue des autres par sa sonorité opérante. De cette possibilité vient la naissance des champs polyscalaires nonoctaviant [car les échelles nonoctaviantes sont + nombreuses que les échelles octaviantes] qui signifient la multiplicité simultanée de différents champs distingués par les différentes échelles et les différentes opérations de transpositions et de transmutations qui les composent.

Il devient alors intéressant que la théorie musicale soit plurithéorique.
Où plusieurs différentes théories se développent simultanément et séparément,
et, c'est bien ce vers quoi nous tendons à développer.
À chaque compositeur de rassembler ses ingrédients et inventer sa propre recette.
Ça, authentifiant l'originalité scalaire modale des accords dans son oeuvre.

Doit-on préserver l'art de la composition musicale comme l'alchimie ?
Ou doit-on écrire :
                           1 accordionnaire avec les 4016 accords internes +
                           1 modionnaire avec les 3521 modes internes ?
Pour piocher dedans à tire-larigot ?
Et + :
Après
Les milliers d'échelles possibles,
Les millions de modes possibles et
Les milliards d'accords possibles...
Jusqu'où va-t-on s'arrêter ?

Comme le paquet de 257 échelles nonoctaviantes à sonner
[de 12,32 à 266,87 cents, divisant + d'une centaine de cycles de 3 à 73 hauteurs]
et extraire tous les modes de chaque échelle + tous les modes issus de plusieurs échelles.
Travail colossal pour 1 seul !

Si l'harmonie des accords, extraits des modes, est si importante dans la composition musicale,
C'est parce les choix des modes et des accords signent la sonorité de l'oeuvre de musique.
L'harmonie des accords donne au même instrument de musique et/ou au même orchestre de pouvoir sonner des différences.

.

Allen Forte classe des accords [atonaux ?] en ensemble de 3 à 9 notes dans l'échelle 8viante 12. Pour quoi ? Pour faciliter l'accès au compositeur des accords ignorés par la théorie hiérarchisée tonale classique sur le mode heptatonique 2212221 [nommé « majeur », sic] ? Est-ce que son classement donne un accès + facile aux accords inusités ? Mais tous ces exemples pour illustrer son classement sont tirés d'oeuvres passées des nouveaux compositeurs du début du XXe siècle [nous sommes au début du XXIe siècle].

Entre temps, nous sommes sortis de la mononoscalairité et + : nous sommes sortis de l'octaviation. Nous avons découvert que l'octaviation est une particularité de la nonoctaviation [par le nombre d'échelles existantes]. Nous avons considéré les échelles acycliques depuis les années 80 du XXe siècle. Nous avons constaté que les échelles symétriques [à divisions paires] répètent une même famille d'intervalles [et dans le monde de l'octaviation répète un même intervalle : la 4+]. Dans le monde nonoctaviant, toutes les relations connues entre accords tonaux et atonaux n'ont plus court. Nous savons que dans le nouveau monde nonoctaviant beaucoup + vaste [et incluant l'ancien], l'idéologie de la domination et de la soumission [ou les critères de supériorités et d'infériorités] formant sa grammaire hiérarchique ne peut plus avoir court pour sonner. La multiplicité polyscalaire oblige à une entente de coïnsidences [sans élu, ni dominant].

La coïncidence scalaire commence par l'usage de 2 échelles au moins dans la musique. Ces 2 échelles quand elles sont non-multiples : c'est-à-dire quand leurs degrés/notes/hauteurs/pitch/bornes ne correspondent pas avec des similarités, répétées [= cycliques], elles s'ajustent [= bougent leur origine et leur diapason] pour coïncider au moins une hauteur/degré commune pour réaliser une correspondance entre elles. C'est la grammaire des phases de coïncidences qui forme l'harmonie étendue des accords polyscalaires qui se font et se défont par phase scalaire [dans un champ ou dans plusieurs en même temps].

Sans classe, ni classement, pas d'accordionnaire : pas d'ordre alpha ou bétique ordinal [= hiérarchique] qui est inexistant dans l'esprit de la musique, ou ne donne pas de sens de la musique à sonner des ensembles de gammes : même plusieurs ensembles.

- Les mélomanes peuvent considérer la sonnance de gammes être de la musique ?
- Non.
- On imagine alors que l'ennui serait considéré être la valeur ultime recherchée à écouter ce qui serait désigné : musique !

 

Échelles en classe de ?

- Une échelle est-elle un classement ?
- Oui.
- C'est une gamme de hauteurs équidistantes [= séparées d'un intervalle unique répété] rangée du grave à l'aigu [ou l'inverse] [7].
- La musique considère + une gamme tel l'arc-en-ciel dans lequel l'artiste dispose d'une palette de couleurs pour composer son tableau qu'une unité de mesure figée à se répéter.
- La sortie de la monoscalairité donne à comprendre que dans la polyscalairité il existe des tons qu'il est temps d'entendre.
- Si une échelle est déjà une classe, à quoi ça sert de la classer ?
- Classer est la première considération de l'intelligence de notre bêtise pour différencier les différences pour identifier les similarités. Le classement est une projection de notre indistinction qui a besoin de cadres et de quadrillage [= grid = grilles = grillages] pour comprendre les rapports proportionnels entre les différences et les similarités.

Tout classement, et +, le classement discriminatoire en classes hiérarchisées, n'est pas une pratique de la musique, mais une pratique politique [= le sévissement du pouvoir prêt à tout pour exister, même à nuire]. La musique n'opère pas avec des hiérarchies de valeurs qu'impose la quantification ordinale se dissimulant derrière la cardinale. Classer, figure une linéarité = un ordre en ligne. La musique au-delà de l'alignement s'est toujours fait agir de manière matricielle, même avec le paramétrage quantifié de ses attributs : hauteurs, durées, intensités, timbres qui imposent une matrice à 4 dimensions dont chaque dimension linéaire [= scalaire] se projette sur les autres : 1 -> 3 x 4. Cette disposition est bien connue des compositeurs du XXe siècle [8].

...

Notes
[1] André Riotte, Formalisation de structures musicales, sans édition ou à compte d'auteur livre photocopié distribué aux étudiants à partir de 1977.
Formalisation de structures musicales & la théorie des cribles dans le livre de Iannis Xenakis Vers une Métamusique est disponible à la bibliothèque.
Formalisation de structures musicales est disponible directement ici au format pdf.

Allen Forte, The structure of atonal music, 1973, Yale University Press.

D'autres utilisateurs, avant eux, tel Debussy et le premier collecteur : Béla Bartók : sa collection de musiques folkloriques (enregistrée sur des cylindres) hongroises, moldaves, slovaques, bulgares, romanes, algériennes et turques lui a donné à rencontrer d'autres modes, tels ceux tziganes d'Inde et arabes : il entend tous les modes inutilisés par la musique savante occidentale *. La polymodalité est clairement, depuis la fin du XIXe siècle, l'issue choisie par les compositeurs désirant renouveler la théorie musicale occidentale et sa musique. La polyscalairité est l'étape suivante. Puis l'étape suivante est l'harmonie des champs polyscalaires nonoctaviants. Là, les traditionalistes sont atterrés.

[2] Dénombrement de tous les modes possibles à l'intérieur d'une échelle à 12 tons :

combien de modes à 5 tons pentatoniques il existe dans une échelle de 12 tons ? Combinaison de 12 éléments 5 en 5 = 12!/5!.7! = 792 modes
combien de modes à 6 tons hexatoniques il existe dans une échelle de 12 tons ? Combinaison de 12 éléments 6 en 6 = 12!/6!.6! = 924 modes
combien de modes à 7 tons heptatoniques il existe dans une échelle de 12 tons ? Combinaison de 12 éléments 7 en 7 = 12!/7!.5! = 792 modes
combien de modes à 8 tons octotoniques il existe dans une échelle de 12 tons ? Combinaison de 12 éléments 8 en 8 = 12!/8!.4! = 495 modes
combien de modes à 9 tons nonatoniques il existe dans une échelle de 12 tons ? Combinaison de 12 éléments 9 en 9 = 12!/9!.3! = 440 modes
combien de modes à 10 tons décatoniques il existe dans une échelle de 12 tons ? Combinaison de 12 éléments 10 en 10 = 12!/10!.2! = 66 modes
combien de modes à 11 tons hendécatoniques il existe dans une échelle de 12 tons ? Combinaison de 12 éléments 11 en 11 = 12!/11!.1! = 12 modes
=> dans une échelle de 12 tons (qui divise n'importe quel ambitus) il existe 3521 modes possibles de 5 à 11 notes.

[3] Dénombrement de tous les accords avec l'opération combinaison sans répétition : combinaison de m éléments n à n = m!/n!.(m-n)!

Pour 7
. Pour un mode ou une échelle heptatonique (à 7 tons), il existe 35 accords de 3 tons (accord de 5e)
. Pour un mode ou une échelle heptatonique (à 7 tons), il existe 35 accords de 4 tons (accord de 7e)
. Pour un mode ou une échelle heptatonique (à 7 tons), il existe 21 accords de 5 tons (accord de 9e)
. Pour un mode ou une échelle heptatonique (à 7 tons), il existe 7 accords de 6 tons (accord de 11e)
= 88 accords possibles jusqu'à 6 tons différents superposés dans un mode ou échelle heptatonique.

Pour 12
. Pour un mode ou une échelle dodécatonique (à 12 tons), il existe 220 accords de 3 tons
. Pour un mode ou une échelle dodécatonique (à 12 tons), il existe 495 accords de 4 tons
. Pour un mode ou une échelle dodécatonique (à 12 tons), il existe 792 accords de 5 tons
. Pour un mode ou une échelle dodécatonique (à 12 tons), il existe 924 accords de 6 tons
. Pour un mode ou une échelle dodécatonique (à 12 tons), il existe 792 accords de 7 tons
. Pour un mode ou une échelle dodécatonique (à 12 tons), il existe 495 accords de 8 tons
. Pour un mode ou une échelle dodécatonique (à 12 tons), il existe 220 accords de 9 tons
. Pour un mode ou une échelle dodécatonique (à 12 tons), il existe 66 accords de 10 tons
. Pour un mode ou une échelle dodécatonique (à 12 tons), il existe 12 accords de 11 tons
= 4016 accords possibles jusqu'à 11 tons différents superposés dans un mode ou échelle dodécatonique

[4] Avec a = do, b = mi et c = sol, on a : mi sol do et sol do mi. Les 3 autres : mi do sol, do sol mi et sol mi do sont ignorés. Les 3 premieres permutations différencient une similarité similarisée, les 3 dernières permutations différencient une similarité différenciée. Cette version n'est possible que dans le contexte d'une échelle octaviante cyclique et symétrique. À considérer, non pas les hauteurs, mais les intervalles ; exemple avec a = 1 pas-intervalle, b = 2 pas-intervalle, c = 3 pas-intervalle [respectivement 2de m, 2de M, 3ce m dans le système de l'échelle cyclique octaviante à 12 horaires], ses 6 permutations sonnent-elle le même accord ? 2de m + 2de M + 3ce m = 3ce m + 2de M + 2de m

[5] Le système tonal avait son classement (déductif) que l'atonalité n'a pas. Centré autour de l'accord nommé parfait à la tonique (pour y revenir) du mode majeur ou mineur, il y a les accords de 7e à 4 tons, les accords de 9e à 5 tons, tous augmentés ou diminués [d'1/2 ton], et les accords limites de 11e à 6 tons. L'accord de 13e à 7 tons sonne toutes les notes du mode. Au-delà, la tonalité est perdue. Rappelons que pour un mode à 7 tons [heptatonique] il existe 88 accords possibles [voir supra à la note 3].

[6] Tom Johnson dans son livre : Other Harmony, beyond tonal and atonal, édition à compte d'auteur en 2015, se réfère en permanence au classement de Forte, donnant à comprendre son usage familier. Other Harmony est disponible ici.

Contrairement à Tom Johnson je ne pense pas que les nombres forment un lien de compréhension entre nous et la nature. Les nombres nous servent d'approximation quantitative pour évaluer la grandeur ou la petitesse des choses. L'exactitude numérique n'existe pas. Voir infra l'infini des nombres irrationnels de l'ensemble R (comme Pi) donnant la valeur numérique des intervalles de l'échelle. Les nombres rationnels, des quotients de l'ensemble Q de la forme x/y, utilisés jusqu'à Helmhost pour calculer les échelles donnent toujours des échelles irrégulières [où les intervalles intérieurs se différencient] ; mais quelle importance ? Aucune. La distinguabilité auditive humaine moyenne est encore + restreinte que son champ audible.

Note de la note

* Notons que pour créer des passages là où il y en a pas avec la théorie tonale, Bartok pose « un "mode" de correspondance à 4 tons » qui lui sert de passage. Par ça, Bartok pose la « relation entre deux tonalités de deux modes différents, issus de la même échelle. » Tels des carrefours relationnels avec les « Axes de toniques 0, 3, 6, 9 (do – la – fa# – ré#) ». Transposé +1 pour les « Axes des dominantes : 1, 4, 7, 10 (sol – mi – do# – la#) et transposés à +2 pour les Axes de sous-dominantes = 2, 5, 8, 11 (fa – ré – si – sol#) ». « La conséquence du système des Axes de Bartók est de mettre en relation toutes les tonalités avec une seule tonalité de base. » Les Axes de Bartok forment un mode de correspondances à 4 tons et à transpositions limitées à 3.

Postnote

Atonal ? Les oeuvres musicales composées pendant cette période [au début du XXe siècle] : sans système d'ordre, donna les oeuvres les + remarquables de notre histoire de la musique. Le sacre du printemps de Stravinsky, Musique pour cordes percussions et célesta de Bartok, toutes les oeuvres de Varèse, celles de Henry Cowell [qui entre autres sonna sans retenue les 1ers clusters au piano], et de toutes les autres. Le dodécaphonisme de Schönberg, Berg et Webern n'est plus de l'atonalité. C'est un système basé sur une organisation sérielle égalitaire [= sans hiérarchie = sans hauteurs valorisées par rapport aux autres] des 12 hauteurs de l'échelle octaviante où 12! = 479 001 600 profils mélodiques de la même échelle en séries [les sériels à la suite ajoutent 12 durées, 12 intensités, 12 timbres. Vague provoquée par Messiaen avec sa pièce Mode de valeurs et d'intensités]. L'organisation sérielle repose sur la différenciation de similarité à l'intérieur de l'échelle au rapport  constant : 1,0594630943592952645618252949463... = ¹²√2 [1/2 ton] avec les 11 intervalles suivants qui la constitue : 1,1224620483093729814335330496792... = (¹²√2)² [ton]; ... ; (¹²√2)¹¹ = 1,8877486253633869932838263133351... [7eM]. Pour pouvoir grimper à une échelle elle doit être constituée du même intervalle. Après, monter et redescendre les marches 2 à 2 [= gamme par ton], 3 à 3, etc., ou irrégulièrement [ou modal] 2 marches puis 2 marches puis 1 marche puis 2 marches puis 2 marches puis 1 marche donnent le mode à 7 marches nommé « majeur ». Pourquoi le nommer « majeur » ? Pour que nos sociétés patriarcales puissent désigner son mode assujetti « mineur » (qui n'a d'inférieur que la volonté de le vouloir inférieur). La joie du majeur et la tristesse du mineur sont un leurre culturel. [Pareil pour la 5te attribuée au mâle et la 4te à la femelle (sic) ou commencer la musique sur le 1er temps fort mâle contre le 2d temps faible femelle (sic).]

Sortir de cette échelle était la condition indispensable pour changer de ton ! Non, de contexte. L'attraction octaviante est aussi aspirante qu'un trou noir : toutes les différences et les finesses disparaissent dans son entourage. La 1ère évasion, d'abord avec d'autres divisions 8viantes (La solution de Harry Partch), mais le nombre d'échelles est restreint à 92 de ⁵√2 à ⁹⁶√2. Au XXe siècle, l'évasion scalaire reste timide bien que sue possible. Les instruments manquent et l'instabilité des oscillateurs empêche d'enregistrer à l'aide du fréquence-mètre une exactitude scalaire [Study I et II de Stockhausen]. Bien que dès les années 20 Wyschnegradsky propose en théorie 9 échelles nonoctaviantes tirées de la division du ton [- égalisé à 200 cents ? - Oui]. Aujourd'hui au XXIe siècle, on dispose d'une pioche de + de 500 échelles nonoctaviantes. Cette abondance scalaire qui semble infinie dans un si petit espace d'écoute [de 30Hz à 8kHz, pas de 20Hz à 20kHz] de rapport : 266,66.. = 800/3 peut surprendre le néophyte. Ce qui importe, ce n'est pas l'abondance des échelles à classer pour sortir du magasin quelques dispositions achetées prêtes à l'emploi, mais de comprendre la nécessité de former un ensemble unique d'échelles par rapport à la musique qu'on veut entendre. Il faut d'abord se familiariser avec les inconnues ; ça, prend du temps. Les instruments numériques aujourd'hui n'empêchent plus les transmutations scalaires. Un programme calculateur d'échelles et de modes comme Scala génère plusieurs formats possibles en + du sien .scl compatible avec un nombre d'instruments numériques. Comme rien n'est adapté, il faut bricoler = trouver des solutions pour que toute transmutation scalaire fonctionne.

[7] Notons que les anglophones nomment « inverse » ce qu'on nomme « renversement » et « reverse » ce qu'on nomme « inverse ». Le renversement est pour x : 1/x, l'inversion est pour x : -x, l'inversion du renversement est pour x : -1/x.

[8] Sa pratique me fut communiquée par le compositeur Horatio Radulescu qui générait ses musiques par projection de plans de différents paramètres les uns sur les autres.

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