découverte d'échelles inouïes : les échelles nonoctaviantes qui ne se divisent pas par le ton

les échelles nonoctaviantes qui ne se calculent pas à partir de la division du ton

ce qui ne signifie pas qu'elles ne sont pas multiples

4eme exploration : du connu vers l'inconnu (3)

EXPLORATION III

L'exploration des échelles octaviantes tonalisées
nous a montré l'existence d'échelles nonoctaviantes au sein même du tempérament octaviant.
Pouvait-on s'y attendre ?

Ces découvertes nous apprennent que la nonoctaviation existe aussi dans la division d'autres intervalles (inclus dans l'octaviation tempérée puis égalisée) comme la quarte, la quinte, la sixte mineure, la sixte majeure, la septième mineure et majeure et les autres intervalles plus grands que l'octave. Avec les premières échelles nonoctaviantes tonales découvertes (celles à partir de la division du ton : voir l'abaque) certaines se retrouvent ici : 5 divisant la quarte, 4 divisant la quinte, 6 divisant la sixte mineure, 3 divisant la sixte majeure, 4 divisant la septième mineure, 3 divisant la septième majeure, 2 divisant l'octave et seconde mineure, etc. En + de tous ces intervalles tonaux nonoctaviants révélés dans leurs échelles, nous allons en révéler d'autres qui se dissimulent dans la division des 6 intervalles constituants nos modes : le majeur et les 3 mineurs (?). Explorer les fréquences de temps (les échelles de hauteurs sont des échelles de temps) pour découvrir d'autres échelles nonoctaviantes, d'autres sonorités scalaires qui ne se calculent pas à partir de la division du ton. Mais pourquoi avoir commencé l'exploration nonoctaviante par la division du ton ? Mieux vaut partir du connu vers l'inconnu que de l'inconnu vers l'inconnu pour ne pas brouiller ses repères ? Sachant que notre perception conditionnée ne peut pas encore percevoir les différences soniques entre les échelles numériquement distinctes.

]
. [Pierre Barbaud en nommant l'échelle égalisée de 12 1/2 tons, Z12 l'ensemble de 12 entiers relatifs, nous ouvre une voie : les 8 échelles de base tonale 1/16e de ton, 1/15e de ton, 1/14e de ton, 1/13e de ton, 1/12e de ton, 1/11e de ton, 1/10e de ton et 1/9e de ton se nomment dans la continuité de Pierre Barbaud : Z96, Z90, Z84, Z78, Z72, Z66, Z60 et Z54. Ces appellations sont liées à leur nombre de divisions dans l'octave. Nous nommons aussi nos échelles, si abondantes, par sa distance intervallaire en cent, sans les chiffres après la virgule. 100 est l'échelle en 1/2 tons égalisée. 200 la gamme par ton. Cette désignation est pratique, car toute échelle multiple de 100, et sans virgule, est attachée à notre échelle monoscalaire millénaire.]

. [Nous nous posons des limites arbitraires, celles du Champ Scalaire des intervalles constituants les échelles nonoctaviantes à :

. entre 12,5 cents & 240 cents
. entre 96 & 5 degrés
. entre 1/16e de ton & 6/5e de ton
. entre ⁹⁶√2 & ⁵√2 = 2^1/96 & 2^1/5
]

[

Tous les théoriciens font des tableaux de chiffres !
C'est rébarbatif à lire, et dans l'immédiat, à comprendre.
Chacun ses tableaux, suivant sa théorie !
Ça fait beaucoup de tableaux !
Un tableau, sans exemple sonore, l'est encore +.
Grâce aux « super-calculateurs » et
à un programme de traduction des chiffres en sons,
toutes ces échelles au XXIe siècle sont audibles !
Sur ton instrument numérique MIDI qui reconnait les fichiers Scala !
Nos tables scalaires sont comme la palette du peintre,
on choisit les échelles qui conviennent pour sa musique.

ICI on divise les intervalles constituant notre mode majeur protohistorique (et au-delà).
La référence est la pythagorisation qui s'opère en 3 étapes :
   1. Scalairisation d'un intervalle (= mise bout à bout du même intervalle),
   2. Amener les intervalles à l'extérieur de l'8ve à l'intérieur de l'8ve,
   3. Classer les intervalles amenés par ordre de grandeur pour former une échelle octaviante.
ICI, dans le champ scalaire, ces intervalles deviennent « les cycles à strier » pour découvrir les échelles nonoctaviantes
(comme le disait poétiquement Pierre Boulez à la place de dire : « les cycles divisionnaires »)
   La 2de opération de scalairisation, à l'oposé de l'addition, est la division qui se calcule avec l'opération racine : √.
   [l'opération racine est l'inverse de l'opération puissance où 2^2 = 2x2 et 2√2 = 2/2]
Où 4te et 5te retiennent leurs rapports harmoniques et les autres, leurs approximations fractionnaires
où chaque savant (généralement non-musicien) durant notre histoire 5 millénaires a posé son intervalle en gamme,
ou une manière de tourner toujours autour du même pot, dont ici enfin on s'évade :

Objet de l'évasion :

Les 12 intervalles (majeurs) ni égalisés ni tempérés (à part l'8ve) :

rang rapport en cent * nom **

00 1/1 0 unison, perfect prime

01 13/12 138,57... tridecimal 2/3-tone

02 7/6 266,87... septimal minor third

03 5/4 386,31... major third

04 4/3 498,045... perfect fourth

05 17/12 603,00... 2nd septendecimal tritone

06 3/2 701,95... perfect fifth

07 19/12 795,56... undevicesimal minor sixth

08 5/3 884,36... major sixth

09 7/4 968,82... harmonic seventh

10 11/6 1049,36... 21/4-tone, undecimal neutral seventh

11 23/12 1126,32... vicesimotertial major seventh

12 2/1 1200 octave

* Repères en cent ? évaluation quantifiée retenue par les fabricants et les savants anglophonisés.
** Par paresse, on reprend les désignations de Manuel Op de Coul, de son calculateur d'échelles Scala.

DIVISIONS/STRIAGES des CYCLES

HORAIRES

1. LOCALISATION de tous les degrés nonoctaviants
à partir des cycles protohistoriques insérés dans l'octave

forme : des échelles nonoctaviantes cycliques avec des cycles familiers
une manière de marier l'inconnu au connu,
telle une 1ère étape à notre évasion définitive de la monoscalairité

...TABLES EN RECONSTRUCTIONS...

[remarque :
j'ai la qualité artistique de faire des erreurs de calcul,
alors, toute correction est bienvenue :)]
[contact du compositeur]

Cycle de la 4te
harmonique

Table des 38 divisions scalaires du cycle de la 4te harmonique : 4/3 = 1,33.. (498,044 999 cents)

nombre x
de degrés dans le cycle Rapports en cent
498,044 999/x = y
nombre de notes
densité/ par octave
1200/y = z
approximation
en ton
égalisé remarques

Division de
la 4te égalisée téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute
Division de
la 4te harmonique téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute

3 3√1,3.. = 1,10064 166,02... 7,23... proche 10/12e de ton Scala tuning script .scl

4 4√1,3.. = 1,07457 124,5... 9,6... proche 5/8e de ton Scala tuning script .scl

5 5√1,3.. = 1,05922 99,6 12,05... proche 1/2 ton quasioctaviation, le 13e degré à 1195,31 cents [12√2=1,05946]

6 6√1,3.. = 1,04912 83,007... 14,4566... proche 5/12e de ton Scala tuning script .scl

7 7√1,3.. = 1,04195 71,149... 16,866... proche 5/14e de ton Scala tuning script .scl

8 8√1,3.. = 1,03661 62,2555 19,275... proche 5/16e de ton Scala tuning script .scl

9 9√1,3.. = 1,03248 55,338... 21,685... Scala tuning script .scl

10 10√1,3.. = 1,02919 49,8044 24,09... proche 1/4 de ton quasioctaviation, le 25e degré à 1195,31 cents [24√2=1,0293]

11 11√1,3.. = 1,0265 45,2767... 26,503... Scala tuning script .scl

12* 12√1,3.. = 1,02426 41,5... 28,915... Scala tuning script .scl

13 13√1,3.. = 1,02238 38,311... 31,322... Scala tuning script .scl

14 14√1,3.. = 1,02076 35,574... 33,6 Scala tuning script .scl

15 15√1,3.. = 1,01936 33,203... 36,141... proche 1/6e de ton quasioctaviation le 37e degré à 1195,31 cents [36√2=1,01944]

16 16√1,3.. = 1,01814 31,1278... 38,5507... Scala tuning script .scl

17 17√1,3.. = 1,01707 29,2967... 40,9602... Scala tuning script .scl

18 18√1,3.. = 1,01611 27,669... 43,369... Scala tuning script .scl

19 19√1,3.. = 1,01526 26,21289... 45,779... Scala tuning script .scl

20 20√1,3.. = 1,01449 24,902... 48,189... proche 1/8e de ton quasioctaviation, le 49e degré à 1195,31 cents [48√2=1,01455]

21 21√1,3.. = 1,01379 23,716... 50,598... Scala tuning script .scl

22 22√1,3.. = 1,01316 22,638... 53
OCTAVIANTE
53√2=1,01316
Scala tuning script .scl

23 23√1,3.. = 1,01259 21,654... 55,417... Scala tuning script .scl

24 24√1,3.. = 1,01206 20,752... 57,826... Scala tuning script .scl

25 25√1,3.. = 1,01157 19,9218 60,2355... proche 1/10e de ton quasioctaviation, le 61e degré à 1195,31 cents [60√2=1,01162]

26 26√1,3.. = 1,01113 19,1555... 62,645... Scala tuning script .scl

27 27√1,3.. = 1,01071 18,446... 65,055... PROCHOCTAVIANTE 65√2=1,01072 Scala tuning script .scl

28 28√1,3.. = 1,01033 17,787... 67,465... Scala tuning script .scl

29 29√1,3.. = 1,00997 17,174... 69,873... Scala tuning script .scl

30 30√1,3.. = 1,00964 16,6015.. 72,282... proche 1/12e de ton quasioctaviation, le 73e degré à 1195,31 cents [72√2=1,00967]

31 31√1,3.. = 1,00932 16,066... 74,691...
Scala tuning script .scl

32 32√1,3.. = 1,00903 15,564... 77,101 PROCHOCTAVIANTE 77√2=1,00904 Scala tuning script .scl

33 33√1,3.. = 1,00876 15,092... 79,512... Scala tuning script .scl

34 34√1,3.. = 1,0085 14,648... 81,922... Scala tuning script .scl

35 35√1,3.. = 1,00825 14,23... 84,3288... proche 1/14e de ton quasioctaviation, le 85e degré à 1195,31 cents [84√2=1,00829]

36 36√1,3.. = 1,00802 13,834... 86,743... Scala tuning script .scl

37 37√1,3.. = 1,00781 13,4606... 89,149... PROCHOCTAVIANTE 89√2=1,00782 Scala tuning script .scl

38 38√1,3.. = 1,0076 13,106... 91,56 Scala tuning script .scl

39 39√1,3.. = 1,0074 12,77... 94 OCTAVIANTE
94√2=1,0074 Scala tuning script .scl

40 40√1,3.. = 1,00722 12,451.. 96,378... proche 1/16e de ton quasioctaviation, le 97e degré à 1195,31 cents [96√2=1,00725]

... ... ... ...

Observons que la division équidistante de la 4te harmonique ne donne pas les rapports mêmes rapprochés qui divisent la quarte égalisée à 500 cents contre 498,044 999 cents. Cette minime différence provoque un retournement suppositoire où les échelles octaviantes prédisposées ou attendues ne sont plus octaviantes (ou assimilées quasioctaviantes) et découvre des échelles strictement octaviantes là où on ne s'attend pas : 22√1,3.. = 53√2 = 1,01316 et 39√1,3.. = 94√2 = 1,0074

Donc, des 38 divisions de la quarte harmonique, de 3 à 40 stries, il y a 2 échelles strictement octaviantes : 22 pas dans une 4te harmonique = 53 pas dans une 8ve et 39 pas dans une 4te harmonique = 94 pas dans une 8ve, 3 échelles prochoctaviantes : 27 pour 65, 32 pour 77 et 37 pour 89 et : les 8 échelles assimilées pour octaviantes qui ne le sont pas, nous avons donc 33 échelles nonoctaviantes pour 3 échelles strictement octaviantes, 3 échelles prochoctaviantes et 8 assimilées qui ne le sont pas.

Remarque :
Les PROCH8ves et QUASI8ves se détectent à l'écoute ou l'évaluation audible se range à considérer différentes qualités d'8ves qui se satellisent autour de 2, ou de l'autre point de vue, considère qu'une 8ve qui n'est pas 2 perd sa désignation d'8ve : c'est selon. Prendre son parti, n'a en fait aucune importance, car toute considération octaviante ou nonoctaviante dépend du contexte harmonique de la musique ou de l'intention scalaire et du compositeur et des musiciens qui interprètent un point de vue qui peu prendre l'un ou l'autre bord.

Marc - Quelle audition peut différencier une quarte harmonique d'une quarte égalisée ?

Math - Un intervalle isolé de son contexte est assimilarisé ou confondu facilement, ou indistingué, on entend les différences à l'usage quand ces intervalles assimilarisés s'écartent à sonner différemment parce que les contextes dans lesquels ils sonnent sont différents, là, les différences s'accentuent pour être perçues.

Tables à imprimer pour tout comprendre :

Table des 38 divisions scalaires du cycle de la 4te harmonique [A3].pdf

Table des 38 divisions scalaires du cycle de la 4te égalisée [A3].pdf

Paquets d'échelles pour tout entendre :

dOwnlOad the 30 nonoctave scales dividing the equal 4th (.scl files zip 12Ko)
télé-charge les 30 échelles nonoctaviantes issues de la 4te égalisée

dOwnload the 36 nonoctave scales + 2 octaves dividing the harmonic 4th (.scl)
télé charge les 36 échelles nonoctaviantes issues de la 4te harmonique + les 2 octaviantes

Cycle de la 5te
harmonique

Table des 54 divisions scalaires du cycle de la 5te harmonique : 3/2 = 1,25 (701,955001 cents)

nombre x
de degrés dans le cycle Rapports en cent
701,955/x = y
notes/densité par octave
1200/y = z
en ton
lequel ? remarques
Division de la 5te égalisée téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute
Division de la 5te harmonique téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute

3 3√1,5 = 1,14 471 233,985 5,1285... proche 7/6e de ton Scala tuning script .scl

4 4√1,5 = 1,10 668 175,488... 6,838... proche7/8e de ton Scala tuning script .scl

5 5√1,5 = 1,08 447 140,391 8,547... proche7/10e de ton Scala tuning script .scl

6 6√1,5 = 1,06 991 116,992.. 10,257... proche/12e de ton Scala tuning script .scl

7 7√1,5 = 1,05 963 100,28... 11,966... proche 1/2 de ton 12√2 = 1,05946 : le 13e à degré à 1203,35 cents

8 8√1,5 = 1,05 199 87,744... 13,676... proche 7/16e de ton Scala tuning script .scl

9 9√1,5 = 1,04 608 77,995... 15,3856... α de Wendy Carlos Scala tuning script .scl

10 10√1,5 = 1,04 138 70,195... 17,095... 17√2=1,04 162 : le 18e degré à 1193,32... cents Scala tuning script .scl

11 11√1,5 = 1,03 755 63,814... 18,804... β de Wendy Carlos. [19√2=1,03 716] Scala tuning script .scl

12 * 12√1,5 = 1,03 437 58,49625 20,514... Scala tuning script .scl

13 13√1,5 = 1,02 74 53,996... 22,223... Scala tuning script .scl

14 14√1,5 = 1,02 9385 50,139... 23,933... proche 1/4 de ton 24√2 = 1,0 293 022 : le 25e degré à 1203,35 cents

15 15√1,5 = 1,02 74 46,797... 25,642... Scala tuning script .scl

16 16√1,5 = 1,02 567 43,872... 27,352... Scala tuning script .scl

17 17√1,5 = 1,02 414 41,291... 29,062... : le 30e degré à 1197,45 cents |29√2=1,02 419] Scala tuning script .scl

18 18√1,5 = 1,02 278 38,9975... 30,771... : le 32e degré à 1208,92 cents [31√2=1,02 261] Scala tuning script .scl

19 19√1,5 = 1,02 157 36,945... 32,48... Scala tuning script .scl

20 20√1,5 = 1,02 048 35,097... 34,191... γ de Wendy Carlos Scala tuning script .scl

21 21√1,5 = 1,01 95 33,426... 35,9 proche 1/6e de ton : le 37e degré à 1203,35 cents [36√2 = 1,01944]

22 22√1,5 = 1,01 86 31,907045.. 37,61... Scala tuning script .scl

23 23√1,5 = 1,01 779 30,52... 39,318... Scala tuning script .scl

24 24√1,5 = 1,01 704 29,248.. 41,03... : le 42e degré à 1199,17 cents [41√2 = 1,01703] Scala tuning script .scl

25 25√1,5 = 1,01 635 28,0782 42,74... Scala tuning script .scl

26 26√1,5 = 1,01 572 26,998... 44,44... Scala tuning script .scl

27 27√1,5 = 1,01 513 25,99833.. 46,156... Scala tuning script .scl

28 28√1,5 = 1,01 459 25,07... 47,86... 48√2 = 1,01455 : le 48e degré à à 1203,35 cents

29 29√1,5 = 1,01 408 24,205... 49,57... Scala tuning script .scl

30 30√1,5 = 1,01 361 23,3985 51,28... Scala tuning script .scl

31 31√1,5 = 1,01 317 22,64... 52,99...
53√2 = 1,01316 : le 54e degré à 1222,76 cents Scala tuning script .scl

32 32√1,5 = 1,01 275 21,93609375 54,70... Scala tuning script .scl

33 33√1,5 = 1,01 236 21,27136.. 56,41... le 57e degré est à 1191,19 cents Scala tuning script .scl

34 34√1,5 = 1,012 20,645... 58,12... 58√2 = 1,01202 : le 59e degré est à 1197,45 cents Scala tuning script .scl

35 35√1,5 = 1,01162 20,056... 59,83... proche 1/10e de ton 60√2 = 1,01162 : le 61e degré à 1203,35 cents

36 36√1,5 = 1,01133 19,49875 61,54... Scala tuning script .scl

37 37√1,5 = 1,01102 18,971 756.. 63,25... Scala tuning script .scl

38 38√1,5 = 1,01073 18,4725 64,96... Scala tuning script .scl

39 39√1,5 = 1,01045 17,9988... (18) 66,67... Scala tuning script .scl

40 40√1,5 = 1,01019 17,548875 68,38... Scala tuning script .scl

41 41√1,5 = 1,00994 17,12... 70,09... 70√2 = 1,00995 : le 71e degré à 1215,58 cents Scala tuning script .scl

42 42√1,5 = 1,0097 16,71... 71,8... 72√2 = 1,00967 : le 72e degré est à 1220,06 cents

43 43√1,5 = 1,00947 16,32... 73,51... Scala tuning script .scl

44 44√1,5 = 1,00926 15,953522 72.. 75,21... Scala tuning script .scl

45 45√1,5 = 1,00905 15,599.. (15,6) 76,92... Scala tuning script .scl

46 46√1,5 = 1,00885 15,26... 78,63... Scala tuning script .scl

47 47√1,5 = 1,00866 14,93... 80,34... Scala tuning script .scl

48 48√1,5 = 1,00848 14,624062520833.. 82,05... 82√2 = 1,00849 : le 83e degré est à 1199,17 cents Scala tuning script .scl

49 49√1,5 = 1,00831 14,32... 83,76... 84√2 = 1,00829 et, le 85e degré à 1203,35 cents

50 50√1,5 = 1,00814 14,03910002 85,475... Scala tuning script .scl

51 51√1,5 = 1,00798 13,76... 87,18... Scala tuning script .scl

52 52√1,5 = 1,00783 13,5... 88,89... Scala tuning script .scl

53 53√1,5 = 1,00768 13,24... 90,6... Scala tuning script .scl

54 54√1,5 = 1,00754 13,... 92,31... Scala tuning script .scl

55 55√1,5 = 1,0074 12,7628182 94,023... 94√2 = 1,0074 : le 95e degré à 1203,35 cents Scala tuning script .scl

56 56√1,5 = 1,00727 12,535... 95,73... 96√2 = 1,00725 et, le 97e degré est à 1203,35 cents

... ... ... ... ... ... ...

Contrairement à la 4te harmonique, la 5te harmonique « taquine » l'8ve. À considérer l'octaviation proche, en dessous de 12,5 cents <=> 1/16e de ton ; des 54 divisions égales de la quinte harmonique, de 3 à 56 stries, il n'y a aucune échelle strictement octaviante. Ajoutons une propriété inattendue où la quasi octaviation à quelques 3 cents près se réalise au degré inférieur à celui attendu : une octave redondante à 1203,35 cents

Tables à imprimer pour tout comprendre :

Table des 54 divisions scalaires du cycle de la 5te égalisée [A3].pdf

Table des 54 divisions scalaires du cycle de la 5te harmonique [A3].pdf

Paquets d'échelles pour tout entendre :

dOwnlOad the 46 nonoctave scales dividing the equal 5th (.scl files zip 20Ko)
Télé-charge les 46 échelles nonoctaviantes issues de la 5te égalisée

Cycle de la 6te mineure
dédevicesimale

Table des 62 divisions scalaires du cycle de la 6te mineure :
ou : de la 6te mineure "undevicesimal" : 19/12 = 1,5833.. = 795,558015 cents.
Il existe une sixte mineur septendecimal 27/17 = 1,588... à 800,909 593 cents, mais un peu trop proche de la 6m égalisée : 800 cents.

nombre x
de degrés
dans le cycle
Rapports en cent
795,558/x = y
notes densité/ par octave
1200/y =
en ton remarques
échelles des divisions de la 6m égalisée
téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute
échelles des divisions de
la 6m dédevicesimale téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute

3 3√19/12 = 1,16553... 265,18... 4,525... + petit et proche 4/3 de ton quasi pentatonique nonoctaviante Scala tuning script .scl

4 4√19/12 = 1,12174... 198,88... 6,03 assimilée au ton quasioctaviation entre le 6e et 7e degrés

5 5√19/12 = 1,09626... 159,1116... 7,54... proche 4/5e de ton 160 cents Scala tuning script .scl

6 6√19/12 = 1,0796... 132,59... 9,05 assimilée à 2/3 de ton 133,33.. cents quasioctaviation entre le 9e et 10e degrés

7 7√19/12 = 1,06785... 113,651145 10,56... proche 4/7e de ton 112,5 cents Scala tuning script .scl

8 8√19/12 = 1,05912... 99,444751875 12,067... assimilée au 1/2 ton quasioctaviation entre le 12e et 13e degrés

9 9√19/12 = 1,05239... 88,395335 12,57... proche 4/9e de ton 88,88.. Scala tuning script .scl

10 10√19/12 = 1,04703... 79,5558015 15,083... proche 2/5e de ton = 15√2=1,04729

11 11√19/12 = 1,04266... 72,3234... 16,59... proche 4/11e de ton = 1,04291 (72,72.. cents) Scala tuning script .scl

12* 12√19/12 = 1,03904... 66,29650125 18,1... assimilée 1/3 de ton = 66,66.. cents quasioctaviation entre le 18e et 19e degrés

13 13√19/12 = 1,03598... 61,19... 19,61... proche 4/13e de ton = 61,53 cents Scala tuning script .scl

14 14√19/12 = 1,03337... 56,8255725 21,12... 2/7e de ton quasioctaviation entre 21e et 22e degrés

15 15√19/12 = 1,03111... 53,037201 22,62... proche 4/15e de ton Scala tuning script .scl

16 16√19/12 = 1,02914... 49,7223759375 24,134... assimilée au 1/4 de ton quasioctaviation entre 24e et 25e degrés

17 17√19/12 = 1,0274... 46,79... 25,64... proche 4/17e de ton Scala tuning script .scl

18 18√19/12 = 1,0586... 44,1976675 27,15... assimilée au 2/9e de ton quasioctaviation entre 27e et 28e degrés

19 19√19/12 = 1,02448... 41,87... 28,66... proche 4/19e de ton Scala tuning script .scl

20 20√19/12 = 1,02324... 39,77790075 30,17... assimilée au 1/5e de ton quasioctaviation entre 30e et 25e degrés

21 21√27/17 = 1,02227 800/21 = 38,095... 1200/38,095... = 31,5 4/21e de ton Scala tuning script .scl

22 22√27/17 = 1,02125 800/22 = 36,36.. 1200/36,36.. = 33 2/11e de ton octaviation Z33

23 23√27/17 = 1,02032 800/23 = 34,78... 1200/34,78... = 34,5 4/23e de ton Scala tuning script .scl

24 24√27/17 = 1,01946 800/24 = 33,33.. 1200/ = 36 1/6e de ton octaviation Z36

25 25√27/17 = 1,01868 800/25 = 32 1200/32 = 37,5 4/25e de ton Scala tuning script .scl

26 26√27/17 = 1,01795 800/26 = 30,769... 1200/30,769... = 39 2/13e de ton octaviation Z39

27 27√27/17 = 1,01728 800/27 = 29,62... 1200/29,62... = 40,5 4/27e de ton Scala tuning script .scl

28 28√27/17 = 1,01666 800/28 = 28,57... 1200/28,57... = 42 1/7e de ton octaviation Z42

29 29√27/17 = 1,01608 800/29 = 27,58... 1200/27,58... = 43,5 4/29e de ton Scala tuning script .scl

30 30√27/17 = 1,01554 800/30 = 26,66.. 1200/26,66.. = 45 2/15e de ton octaviation Z45

31 31√27/17 = 1,01504 800/31 = 25,806... 1200/25,806... = 46,5
4/31e de ton Scala tuning script .scl

32 32√27/17 = 1,01456 800/32 = 25 1200/25 = 48 1/8e de ton octaviation Z48

33 33√27/17 = 1,01412 800/33 = 24,24.. 1200/24,24.. = 49,5 4/33e de ton Scala tuning script .scl

34 34√27/17 = 1,0137 800/34 = 23,53... 1200/23,53... = 51 2/17e de ton octaviation Z51

35 35√27/17 = 1,01331 800/35 = 22,85... 1200/22,85... = 52,5 4/35e de ton Scala tuning script .scl

36 36√27/17 = 1,01293 800/36 = 22,22.. 1200/22,22.. = 54 1/9e de ton octaviation Z54

37 37√27/17 = 1,01258 800/37 = 21,62... 1200/21,62... = 55,5 4/37e de ton Scala tuning script .scl

38 38√27/17 = 1,01225 800/38 = 21,05... 1200/21,05... = 57 2/19e de ton octaviation Z57

39 39√27/17 = 1,01193 800/39 = 20,51... 1200/20,51... = 58,5 4/39e de ton Scala tuning script .scl

40 40√27/17 = 1,01163 800/40 = 20 1200/20 = 60 1/10e de ton octaviation Z60

41 41√27/17 = 1,01135 800/41 = 19,51... 1200/19,51... = 61,5 4/41e de ton Scala tuning script .scl

42 42√27/17 = 1,01108 800/42 = 19,04... 1200/19,04... = 63 2/21e de ton octaviation Z63

43 43√27/17 = 1,01082 800/43 = 18,604... 1200/18,604... = 64,5 4/43e de ton Scala tuning script .scl

44 44√27/17 = 1,01057 800/44 = 18,18.. 1200/18,18.. = 66 1/11e de ton octaviation Z66

45 45√27/17 = 1,01033 800/45 = 17,77.. 1200/17,77.. = 67,5 4/45e de ton Scala tuning script .scl

46 46√27/17 = 1,01011 800/46 = 17,39... 1200/17,39... = 69 2/23e de ton octaviation Z69

47 47√27/17 = 1,00989 800/47 = 17,02... 1200/17,02... = 70,5 4/47e de ton Scala tuning script .scl

48 48√27/17 = 1,00968 800/48 = 16,66.. 1200/16,66.. = 72 1/12e de ton octaviation Z72

49 49√27/17 = 1,00949 800/49 = 16,32... 1200/16,32... = 73,5 Scala tuning script .scl

50 50√27/17 = 1,0093 800/50 = 16 1200/16 = 75 2/25e de ton octaviation Z75

51 51√27/17 = 1,00911 800/51 = 15,68... 1200/15,68... = 76,5 Scala tuning script .scl

52 52√27/17 = 1,00894 800/52 = 15,38... 1200/15,38... = 78 1/13e de ton octaviation Z78

53 53√27/17 = 1,00877 800/53 = 15,09434 1200/15,09434 = 79,5 Scala tuning script .scl

54 54√27/17 = 1,0086 800/54 = 14,814... 1200/14,814... = 81 2/27e de ton octaviation Z81

55 55√27/17 = 1,00845 800/55 = 14,54.. 1200/14,54.. = 82,5 Scala tuning script .scl

56 56√27/17 = 1,0083 800/56 = 14,28... 1200/14,28... = 84 1/14e de ton octaviation Z84

57 57√27/17 = 1,00815 800/57 = 14,03... 1200/14,03... = 85,5 Scala tuning script .scl

58 58√27/17 = 1,00801 800/58 = 13,79... 1200/13,79... = 87 2/29e de ton octaviation Z87

59 59√27/17 = 1,00787 800/59 = 13,56... 1200/13,56... = 88,5 Scala tuning script .scl

60 60√27/17 = 1,00774 800/60 = 13,33.. 1200/13,33.. = 90 1/15e de ton octaviation Z90

61 61√27/17 = 1,00761 800/61 = 13,11... 1200/13,11... = 91,5 Scala tuning script .scl

62 62√27/17 = 1,00749 800/62 = 12,903... 1200/12,903... = 93 2/31e de ton octaviation Z93

63 63√27/17 = 1,00737 800/63 = 12,69... 1200/12,69... = 94,5 Scala tuning script .scl

64 64√27/17 = 1,00725 800/64 = 12,5 1200/12,5 = 96 1/16e de ton octaviation Z96

... ... ... ... ... ... ...

{27/17 = 1,58 823 sixte mineure septendecimale} & {(¹²√2)⁸ = 1,58 736 sixte mineure égalisée}

Des 62 divisions égales de la sixte mineure, de 3 à 64 stries,
il y a pour 31 échelles octaviantes, 31 échelles nonoctaviantes (ou qui octavient au second octave).

Tables à imprimer :

Table des 62 divisions scalaires du cycle de la 6te mineure dédevicesimale 795 cents [A3].pdf
Table des 62 divisions scalaires du cycle de la 6te mineure septodecatonique (800,1 cents !) [A3].pdf
Table des 62 divisions scalaires du cycle de la 6te mineure égalisée [A3].pdf

Paquets d'échelles pour tout entendre :

dOwnlOad the 31 nonoctave scales dividing the equal 6th minor (.scl files zip 16Ko)
Télécharge ces 31 échelles nonoctaviantes issues de la 6te mineure égalisée

Cycle de la 6te Majeure
pythagorienne

Table des 70 divisions scalaires du cycle de la 6te majeure pythagorienne : 27/16 = 1,6875 (905,865 cents) sixte majeur pythagorienne

nombre x
de degrés dans le cycle Rapports
n coupures de 1,6875 en cent
notes densité/ par octave
en ton remarques
échelles des divisions de la 6M égalisée téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute
échelles des divisions de la 6M pythagorienne téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute

4 4√27/16 = 1,13975 900/4 = 225 1200/225 = 5,33.. 9/8e de ton Scala tuning script .scl

5 5√27/16 = 1,11032 900/5 = 180 1200/180 = 6,66.. 9/10e de ton membre des 53

6 6√27/16 = 1,09112 150,977 7,948... proche 3/4 de ton quasioctaviante à 8 degrés 8√2=1,09051

7 7√27/16 = 1,07761 129,41... 9,273.. proche 9/14e de ton

8 8√27/16 = 1,06759 900/8 = 112,5 1200/112,5 = 10,66.. 4/7e de ton membre des 53

9 9√27/16 = 900/9 = 100 1200/100 = 12 1/2 de ton octaviante Z12

10 10√27/16 = 1,05372 900/10 = 90 1200/90 = 13,33.. Scala tuning script .scl

11 11√27/16 = 1,04872 900/11 = 81,81.. 1200/81,81.. = 14,66.. Scala tuning script .scl

12* 12√27/16 = 900/12 = 75 1200/75 = 16 3/8e de ton octaviante Z16

13 13√27/16 = 1,04107 900/13 = 69,23... 1200/69,23... = 17,33.. Scala tuning script .scl

14 14√27/16 = 1,03808 900/14 = 64,28... 1200/64,28... = 18,66.. Scala tuning script .scl

15 15√27/16 = 900/15 = 60 1200/60 = 20 3/10e de ton octaviante Z20

16 16√27/16 = 1,03324 900/16 = 56,25 1200/56,25 = 21,33.. Scala tuning script .scl

17 17√27/16 = 1,03126 900/17 = 52,94... 1200/52,94... = 22,66.. Scala tuning script .scl

18 18√27/16 = 900/18 = 1200/ = 24 1/4 de ton octaviante Z24

19 19√27/16 = 1,02792 900/19 = 47,36... 1200/47,36... = 25,33.. Scala tuning script .scl

20 20√27/16 = 1,02651 900/20 = 45 1200/45 = 26,66.. Scala tuning script .scl

21 21√27/16 = 900/21 = 1200/ = 28 3/14e de ton octaviante Z28

22 22√27/16 = 1,02407 900/22 = 40,90.. 1200/40,90.. = 29,33.. Scala tuning script .scl

23 23√27/16 = 1,02301 900/23 = 39,13... 1200/39,13... = 30,66.. Scala tuning script .scl

24 24√27/16 = 900/24 = 1200/ = 32 3/16e de ton octaviante Z32

25 25√27/16 = 1,02115 900/25 = 36 1200/36 = 33,33.. Scala tuning script .scl

26 26√27/16 = 1,02033 900/26 = 34,61... 1200/34,61... = 34,66.. Scala tuning script .scl

27 27√27/16 = 900/27 = 1200/ = 36 1/6e de ton octaviante Z36

28 28√27/16 = 1,01886 900/28 = 32,14... 1200/32,14... = 37,33.. Scala tuning script .scl

29 29√27/16 = 1,01821 900/29 = 31,03... 1200/31,03... = 38,66.. Scala tuning script .scl

30 30√27/16 = 900/30 = 1200/ = 40 3/20e de ton octaviante Z40

31 31√27/16 = 1,01702 900/31 = 29,03... 1200/29,03... = 41,33..
Scala tuning script .scl

32 32√27/16 = 1,01649 900/32 = 28,125 1200/28,125 = 42,66.. Scala tuning script .scl

33 33√27/16 = 900/33 = 1200/ = 44 3/22e de ton octaviante Z44

34 34√27/16 = 1,01551 900/34 = 26,47... 1200/26,47... = 45,33.. Scala tuning script .scl

35 35√27/16 = 1,01506 900/35 = 25,71... 1200/25,71... = 46,66.. Scala tuning script .scl

36 36√27/16 = 900/36 = 1200/ = 48 1/8e de ton octaviante Z48

37 37√27/16 = 1,01424 900/37 = 24,324... 1200/24,324... = 49,33.. Scala tuning script .scl

38 38√27/16 = 1,01386 900/38 = 23,68... 1200/23,68... = 50,66.. Scala tuning script .scl

39 39√27/16 = 900/39 = 1200/ = 52 3/26e de ton octaviante Z52

40 40√27/16 = 1,01317 900/40 = 22,5 1200/22,5 = 53,33.. Scala tuning script .scl

41 41√27/16 = 1,01284 900/41 = 21,95... 1200/21,95... = 54,66.. Scala tuning script .scl

42 42√27/16 = 900/42 = 1200/ = 56 3/28e de ton octaviante Z56

43 43√27/16 = 1,01224 900/43 = 20,93... 1200/20,93... = 57,33.. Scala tuning script .scl

44 44√27/16 = 1,01196 900/44 = 20,45... 1200/20,45... = 58,66.. Scala tuning script .scl

45 45√27/16 = 900/45 = 1200/ = 60 1/10e de ton octaviante Z60

46 46√27/16 = 1,01144 900/46 = 19,56... 1200/19,56... = 61,33.. Scala tuning script .scl

47 47√27/16 = 1,0112 900/47 = 19,14... 1200/19,14... = 62,66.. Scala tuning script .scl

48 48√27/16 = 900/48 = 1200/ = 64 3/32e de ton octaviante Z64

49 49√27/16 = 1,01074 900/49 = 18,36... 1200/18,36... = 65,33.. Scala tuning script .scl

50 50√27/16 = 1,01052 900/50 = 18 1200/18 = 66,66.. Scala tuning script .scl

51 51√27/16 = 900/51 = 1200/ = 68 3/34e de ton octaviante Z68

52 52√27/16 = 1,01011 900/52 = 17,31... 1200/17,31... = 69,33.. Scala tuning script .scl

53 53√27/16 = 1,00992 900/53 = 16,98... 1200/16,98... = 70,66.. Scala tuning script .scl

54 54√27/16 = 900/54 = 1200/ = 72 1/12e de ton octaviante Z72

55 55√27/16 = 1,00956 900/55 = 16,36.. 1200/16,36.. = 73,33.. Scala tuning script .scl

56 56√27/16 = 1,00939 900/56 = 16,07... 1200/16,07... = 74,66.. Scala tuning script .scl

57 57√27/16 = 900/57 = 1200/ = 76 3/38e de ton octaviante Z76

58 58√27/16 = 1,00906 900/58 = 15,51... 1200/15,51... = 77,33.. Scala tuning script .scl

59 59√27/16 = 1,00891 900/59 = 15,25... 1200/15,25... = 78,66.. Scala tuning script .scl

60 60√27/16 = 900/60 = 1200/ = 80 3/40e de ton octaviante Z80

61 61√27/16 = 1,00861 900/61 = 14,75... 1200/14,75... = 81,33.. Scala tuning script .scl

62 62√27/16 = 1,00848 900/62 = 14,51... 1200/14,51... = 82,66.. Scala tuning script .scl

63 63√27/16 = 900/63 = 1200/ = 84 1/14e de ton octaviante Z84

64 64√27/16 = 1,00821 900/64 = 14,0625 1200/14,0625 = 85,33.. Scala tuning script .scl

65 65√27/16 = 1,00808 900/65 = 13,84... 1200/13,84... = 86,66.. Scala tuning script .scl

66 66√27/16 = 900/66 = 1200/ =88 3/44e de ton octaviante Z88

67 67√27/16 = 1,00784 900/67 = 13,43... 1200/13,43... = 89,33.. Scala tuning script .scl

68 68√27/16 = 1,00772 900/68 = 13,23... 1200/13,23... = 90,66.. Scala tuning script .scl

69 69√27/16 = 900/69 = 1200/ =92 3/46e de ton octaviante Z92

70 70√27/16 = 1,0075 900/70 = 12,85... 1200/12,85... = 93,33.. Scala tuning script .scl

71 71√27/16 = 1,0074 900/71 = 12,67... 1200/12,67... = 94,66.. Scala tuning script .scl

72 72√27/16 = 900/72 = 1200/ = 96 1/16e de ton octaviation Z96

73 73√27/16 = 1,00719 900/73 = 12,32... 1200/12,32... = 97,33.. Scala tuning script .scl

...

{3/2 . 9/8 = 27/16 = 1,6875 sixte majeure pythagorienne} & {(¹²√2)⁹ = 1,68175 sixte majeure égalisée à 900 cents}

Des 70 divisions de la sixte majeure pythagorienne, de 4 à 73 stries, il y a 46+1 échelles nonoctaviantes pour 23 échelles octaviantes

Paquets d'échelles pour tout entendre :

dOwnlOad the 47 nonoctave scales dividing the equal 6th major (.scl files zip 26Ko)
Télé-charge 47 échelles nonoctaviantes divisant la 6te majeure égalisée (.scl dossier zippé 26Ko)

Cycle de la 7e mineure
pythagorienne

Table des 77 divisions scalaires du cycle de la 7e mineure pythagorienne : 59049/32768 = 1,8... (1019,55 cents) [1]
d'autres la nomment : sixte augmentée pythagoricienne alors qu'elle est + grande que notre 7m égalisée. Il existe aussi une 7e harmonique : 7/4 = 1,75 (968,826... cents) + petite que notre 7m égalisée = 1,78175) [2]

nombre x
de degrés dans le cycle Rapports
n coupures de en cent
1019.55/x=y
nombre de notes
densité/ par octave en ton [approx] remarques téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute

4 4√59049/32768 = 1,15862 254,8875 4,708... proche 5/4 de ton

5 5√59049/32768 = 1,125 203,91... 5,885... quasiton 6√2=1,12246

6 6√59049/32768 = 1,10313 1000/6 = 166,66..

7 7√59049/32768 = 1,08777 145,65... 8,2389...

8 8√59049/32768 = 1,07639 1000/8 = 125 proche 5/8e de ton

9 9√59049/32768 = 1,06762 1000/9 = 111,11..

10 10√59049/32768 = 1,06066 101,95 11,77... proche 1/2 ton 12√2=1,05946

11 11√59049/32768 = 1,055 1000/11 = 90,90..

12* 12√59049/32768 = 1,0503 84,9625... 14,12... 14√2=1,05076

13 13√59049/32768 = 1,04634 1000/13 = 76,92...

14 14√59049/32768 = 1,04296 1000/14 = 71,42...

15 15√59049/32768 = 1,04004 1000/15 = 66,66.. 18 1/3 de ton 1,03926 OCT

16 16√59049/32768 = 1,03749 1000/16 = 62,5

17 17√59049/32768 = 1,03525 1000/17 = 58,82

18 18√59049/32768 = 1,03326 1000/18 = 55,55..

19 19√59049/32768 = 1,03148 1000/19 = 52,63...

20 20√59049/32768 = 1,02988 1000/20 = 50 24 1/4 de ton 1,0293 OCT

21 21√59049/32768 = 1,02844 1000/21 = 47,62....

22 22√59049/32768 = 1,02713 1000/22 = 45,45..

23 23√59049/32768 = 1,02594 1000/23 = 43,47...

24 24√59049/32768 = 1,02484 1000/24 = 41,66..

25 25√59049/32768 = 1,02384 1000/25 = 40 30 1/5e de ton 1,02337 OCT

26 26√59049/32768 = 1,02291 1000/26 = 38,46...

27 27√59049/32768 = 1,2205 1000/27 = 37,03...

28 28√59049/32768 = 1,02126 1000/28 = 35,71...

29 29√59049/32768 = 1,02052 1000/29 = 34,48...

30 30√59049/32768 = 1,01982 1000/30 = 33,33.. 36 1/6e de ton 1,01944 OCT

31 31√59049/32768 = 1,01918 1000/31 = 32,25...

32 32√59049/32768 = 1,01857 1000/32 = 31,25

33 33√59049/32768 = 1,01801 1000/33 = 30,30..

34 34√59049/32768 = 1,01747 1000/34 = 29,41...

35 35√59049/32768 = 1,01697 1000/35 = 28,57... 42 1/7e de ton 1,01664 OCT

36 36√59049/32768 = 1,01649 1000/36 = 27,77..

37 37√59049/32768 = 1,01604 1000/37 = 27,027..

38 38√59049/32768 = 1,01562 1000/38 = 26,31...

39 39√59049/32768 = 1,01521 1000/39 = 25,64...

40 40√59049/32768 = 1,01483 1000/40 = 25 48 1/8e de ton 1,01455 OCT

41 41√59049/32768 = 1000/41 = 24,39...

42 42√59049/32768 = 1000/42 = 23,81...

43 43√59049/32768 = 1000/43 = 23,25...

44 44√59049/32768 = 1000/44 = 22,72..

45 45√59049/32768 = 1000/45 = 22,22.. 54 1/9e de ton 1,01292 OCT

46 46√59049/32768 = 1000/46 = 21,74...

47 47√59049/32768 = 1000/47 = 21,27...

48 48√59049/32768 = 1000/48 = 20,83.

49 49√59049/32768 = 1000/49 = 20,41...

50 50√59049/32768 = 1000/50 = 20 60 1/10e de ton 1,01162 OCT

51 51√59049/32768 = 1000/51 =

52 52√59049/32768 = 1000/52 =

53 53√59049/32768 = 1000/53 =

54 54√59049/32768 = 1000/54 =

55 55√59049/32768 = 1000/55 = 18,18.. 66 1/11e de ton 1,01056 OCT

56 56√59049/32768 = 1000/56 =

57 57√59049/32768 = 1000/57 =

58 58√59049/32768 = 1000/58 =

59 59√59049/32768 = 1000/59 =

60 60√59049/32768 = 1,00986 1000/60 = 16,66.. 72 1/12e de ton 1,00967 OCT

61 61√59049/32768 = 1000/61 =

62 62√59049/32768 = 1000/62 =

63 63√59049/32768 = 1000/63 =

64 64√59049/32768 = 1000/64 =

65 65√59049/32768 = 1,0091 1000/65 = 15,38... 78 1/13e de ton 1,00967 OCT

66 66√59049/32768 = 1000/66 =

67 67√59049/32768 = 1000/67 =

68 68√59049/32768 = 1000/68 =

69 69√59049/32768 = 1000/69 =

70 70√59049/32768 = 1,00845 1000/70 = 14,28... 84 1/14e de ton 1,00829 OCT

71 71√59049/32768 = 1000/71 =

72 72√59049/32768 = 1000/72 =

73 73√59049/32768 = 1000/73 =

74 74√59049/32768 = 1000/74 =

75 75√59049/32768 = 1,00788 1000/75 = 13,33.. 90 1/15e de ton 1,00773 OCT

76 76√59049/32768 = 1000/76 =

77 77√59049/32768 = 1000/77 = 12,98...

78 78√59049/32768 = 1000/78 = 12,82...

79 79√59049/32768 = 1000/79 =

80 80√59049/32768 = 1,00739 1000/80 = 12,5 96 1/16e de ton 1,00725 OCT

Les échelles assimilées pour ce qu'elles ne sont pas. C'est le problème du manque de distinction dans notre perception. L'assimilarisation se produit quand les différences sont indistinguées. La démonstration avec le ton harmonique 1,125 : 110Hz ; 123,75Hz ; 139,21Hz ; 156,62Hz ; 176,19Hz ; 198,22Hz ; 223Hz. L'octave n'est pas à 223Hz mais à 220Hz. L'assimilarisation s'opère, car personne ne fait la distinction entre 220Hz et 223Hz.

Sur 77 échelles divisant la 7m, 15 sont octaviantes et 62 sont nonoctaviantes.

...

Cycle de la 7e Majeure
sans nom

Table des 88 divisions divisions scalaires du cycle de la 7e M, mais laquelle ? Quelle 7e M ? Sur les 4 principales existantes ? La 7e M de Zarlino : 15/8 = 1,875, la 7e M égalisée (12√2)^11 = 1,88769, la 7e M de Pythagore 243/128 = 1,8984375, ou la 7e M sans nom : 23/12 = 1,9166.. (1126,32... cents) [3]

Table des 88 divisions divisions scalaires du cycle de la 7e M sans nom : 23/12 = 1,9166.. (1126,32... cents)

[91 divisions - 3 = 88]

nombre x
de degrés dans le cycle Rapports n coupures de en cent
1126,32/x=y nombre de notes
densité/par octave
1200/y=z
en ton
[approximation] remarques téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute

4 4√23/12 = 1,17662 281,58... 4,261...

5 5√23/12 = 1,13896 225,264... 5,327...

6 6√23/12 =

7 7√23/12 = 1,0974 160,9... 7,458...

8 8√23/12 =

9 9√23/12 =

10 10√23/12 =

11 11√23/12 = 1,06093 102,392... 11,72...

12* 12√23/12 =

13 13√23/12 = 1,05132 86,64 13,85...

14 14√23/12 =

15 15√23/12 =

16 16√23/12 =

17 17√23/12 = 1,03901 66,254... 18,112... 18√2=1,03926

18 18√23/12 =

19 19√23/12 = 1,03483 59,28 20,243...

20 20√23/12

21 21√23/12

22 22√23/12

23 23√23/12 = 1,02869 48,97... 24,5...

24 24√23/12

25 25√23/12

26 26√23/12

27 27√23/12

28 28√23/12

29 29√23/12 = 1,02269 38,838... 30,897...

30 30√23/12

31 31√23/12 = 1,02121 36,33... 33,03... 33√2=1,02123
prochoctaviante

32 32√23/12

33 33√23/12

34 34√23/12

35 35√23/12

36 36√23/12

37 37√23/12 = 1,01774 30,441... 39,42...

38 38√23/12

39 39√23/12

40 40√23/12

41 41√23/12 = 1,01599 27,4712... 43,682...

42 42√23/12

43 43√23/12 = 1,01524 26,193... 45,813...

44 44√23/12

45 45√23/12

46 46√23/12

47 47√23/12 = 1,01394 23,96... 50,08... 50√2=1,01396 prochoctaviante

48 48√23/12

49 49√23/12

50 50√23/12

51 51√23/12

52 52√23/12

53 53√23/12 = 1,01235 21,25... 56,47...

54 54√23/12

55 55√23/12

56 56√23/12

57 57√23/12

58 58√23/12

59 59√23/12 = 1,01109 19,09 62,86...

60 60√23/12

61 61√23/12 = 1,01072 18,464... 64,991... 65√2=1,01072 OCTAVIANTE

62 62√23/12

63 63√23/12

64 64√23/12

65 65√23/12

66 66√23/12

67 67√23/12 = 1,00976 16,811... 71,382...

68 68√23/12

69 69√23/12

70 70√23/12

71 71√23/12 = 1,00921 15,863... 75,6477...

72 72√23/12

73 73√23/12 = 1,00895 15,429... 77,775

74 74√23/12

75 75√23/12

76 76√23/12

77 77√23/12

78 78√23/12

79 79√23/12 = 1,00827 14,257... 84,169...

80 80√23/12

81 81√23/12

82 82√23/12

83 83√23/12 = 1,00787 13,57... 88,43...

84 84√23/12

85 85√23/12

86 86√23/12

87 87√23/12

88 88√23/12

89 89√23/12 = 1,00734 12,655... 94,824...

90 90√23/12

91 91√23/12 = 1,00717 12,377... 96,954...

- Pour quoi s'intéresser aux nombres premiers pour la division scalaire ?

- Parce que les rapports ne sont pas redondants (sauf quand l'un dans l'autre se retrouve à l'octaviation) et, dans le champ scalaire des nombres premiers, on suppose qu'il y a + d'intervalles inconnus que connus. La 1ère échelle nonoctaviante, celle utilisée pour Ourdission en 1982, est première, elle divise l'ambitus de la flûte traversière par 41, d'où son nom : Ourdission 41. Une échelle à division 1ère non seulement est asymétrique, mais en + ne retrouve pas ses doubles ailleurs, toutes les hauteurs même résultantes de rapports égalisés (par la division de sa division : l'opération racine) sont supposés uniques.

* remarquons qu'avec une division par 12, les différents cycles : 4te, 5te, 6te m et M, 7e m et M, prennent la place de l'octave sur le clavier piano.

...

Cycle 8ve+2de m

[104 divisions - 5 = 99]

...

Cycle 8ve+2de M

...

Les différentes sonorités des échelles prendront du sens quand elles seront embarquées sur ton instrument :

Paquets d'échelles pour tout entendre :

Télé-charge les 154 échelles nonoctaviantes striant la 4te, la 5te, les 6te mineure et majeure égalisées
Download 154 nonoctave scales scaling the equal 4th the 5th the 6th minor & major
(.scl files zip 73Ko)

Pour une division équidistante d'un intervalle-ambitus-cycle apparenté à la tradition diatonique et chromatique, il existe + d'échelles nonoctaviantes que d'échelles octaviantes :

Il n'y a plus de doute : l'octaviation est une exception de la nonoctaviation :

le nombre des échelles octaviantes est quasi fini dans la limite du champ audible : de 5 à 96 = 92 échelles
le nombre des échelles nonoctaviantes est infini dans la limite du champ audible.

Dans le champ scalaire des intervalles protohistoriques égalisés :

div 4te : 30 échelles nonoctaviantes pour 8 échelles octaviantes : 1/2 ton, 1/4 de ton, 1/6e de ton, 1/8e de ton, 1/10e de ton, 1/12e de ton, 1/14e de ton, 1/16e de ton.

div 5te : 46 échelles nonoctaviantes pour 8 échelles octaviantes 1/2 ton, 1/4 de ton, 1/6e de ton, 1/8e de ton, 1/10e de ton, 1/12e de ton, 1/14e de ton, 1/16e de ton : LES MÊMES

div 6te m : 31 échelles nonoctaviantes pour 31 échelles octaviantes 1 ton, 2/3 de ton, 1/2 ton, 2/5e de ton, 1/3 de ton, 2/7e de ton, 1/4 de ton, 2/9e de ton, 1/5e de ton, 2/11e de ton, 1/6e de ton, 2/13e de ton, 1/7e de ton, 2/15e de ton, 1/8e de ton, 2/17 de ton, 1/9e de ton, 2/19e de ton, 1/10e de ton, 2/21e de ton, 1/11e de ton, 2/23e de ton, 1/12e de ton, 2/25e de ton, 1/13e de ton, 2/27e de ton, 1/14e de ton, 2/29e de ton, 1/15e de ton, 2/31e de ton, 1/16e de ton : dont 15 intervalles octaviants nouveaux.

div 6te M : 47 échelles nonoctaviantes pour 23 échelles octaviantes 3/4 de ton, 1/2 de ton; 3/8e de ton, 3/10e de ton, 1/4 de ton, 3/14e de ton, 3/16e de ton, 1/6e de ton, 3/20e de ton, 3/22e de ton, 1/8e de ton, 3/26e de ton, 3/28e de ton, 1/10e de ton, 3/32e de ton, 3/34e de ton, 1/12e de ton, 3/38e de ton, 3/40e de ton, 1/14e de ton, 3/44e de ton, 3/46e de ton, 1/16e de ton : dont 14 intervalles octaviants nouveaux.

div 7m : 62 échelles nonoctaviantes pour 15 échelles octaviantes ton, 1/2 ton, 1/3 de ton, 1/4 de ton, 1/5e de ton, 1/6e de ton, 1/7e de ton, 1/8e de ton, 1/9e de ton, 1/10e de ton, 1/11e de ton, 1/12e de ton, 1/13e de ton, 1/14e de ton, 1/15e de ton, 1/16e de ton : LES MÊMES

= 216 = 29

...

Notes

[1] La plaisanterie est que Pythagore n'est pas musicien (comme presque tous les théoriciens de la musique jusqu'à Bach. Le dernier, le mathématicien Euler pestait contre le système de Bach qui ouvra la possibilité à la transposition ! Aristoxène de Tarente n'a produit aucun calcul, parce que disait-il : « les notes des échelles ne devraient pas être jugées par des rapports mathématiques, mais par l’écoute ». Aujourd'hui, avec nos instruments de musique numériques, nous devons rentrer un calcul pour entendre l'échelle désirée.

[2] Il y a beaucoup de septièmes mineures différentes et dans l'histoire, chacun a voulu poser la sienne, à commencer par... Pythagore, dont ses disciples lui ont attribué ce qui lui a été transmis. La/les 7a qui a sens ici, est une dont son origine date avant le tempérament de la gamme, créé par Bach et généralisé à partir du XVIIIe siècle [remarque : les modes majeur et mineurs aujourd'hui ne sont plus tempérés comme au XVIIIe siècle, dans le compromis entre l'égalisation et l'harmonique, aujourd'hui l'échelle de 12 1/2 tons est égalisée, sur tous les instruments numériques et, sont faux par rapport aux nombres entiers de la série harmonique : le problème de « la fausseté » réside dans l'esprit discriminatoire et hiérarchique posant ce qui est perçu comme « échelle du mérite » (sic) morale. La considération morale coercitive demeure le + grand barrage au savoir.]

[3] Il existe aussi une 7e neutre (!) : 11/6 = 1,833.. (1049,36... cents) ou : 21 1/4 de ton.

A la recherche des échelles nonoctaviantes à partir des intervalles de la série harmonique

Les échelles : les suites en séries infinies pour les hôtes ou le savoir scalaire

Comment noter toutes les échelles pour les musiciens ?

L'harmonie nonoctaviante, révolution musicale

Théorie des Champs Scalaires

suite

re tour à la table des matières

rang	rapport	en cent *	nom **
00	1/1	0	unison, perfect prime
01	13/12	138,57...	tridecimal 2/3-tone
02	7/6	266,87...	septimal minor third
03	5/4	386,31...	major third
04	4/3	498,045...	perfect fourth
05	17/12	603,00...	2nd septendecimal tritone
06	3/2	701,95...	perfect fifth
07	19/12	795,56...	undevicesimal minor sixth
08	5/3	884,36...	major sixth
09	7/4	968,82...	harmonic seventh
10	11/6	1049,36...	21/4-tone, undecimal neutral seventh
11	23/12	1126,32...	vicesimotertial major seventh
12	2/1	1200	octave

nombre x de degrés dans le cycle	Rapports	en cent 498,044 999/x = y	nombre de notes densité/ par octave 1200/y = z	approximation en ton égalisé	remarques	Division de la 4te égalisée téléchargements pour accorder son instrument et son écoute	Division de la 4te harmonique téléchargements pour accorder son instrument et son écoute
3	3√1,3.. = 1,10064	166,02...	7,23...	proche 10/12e de ton		Scala tuning script .scl
4	4√1,3.. = 1,07457	124,5...	9,6...	proche 5/8e de ton		Scala tuning script .scl
5	5√1,3.. = 1,05922	99,6	12,05...	proche 1/2 ton	quasioctaviation, le 13e degré à 1195,31 cents [12√2=1,05946]
6	6√1,3.. = 1,04912	83,007...	14,4566...	proche 5/12e de ton		Scala tuning script .scl
7	7√1,3.. = 1,04195	71,149...	16,866...	proche 5/14e de ton		Scala tuning script .scl
8	8√1,3.. = 1,03661	62,2555	19,275...	proche 5/16e de ton		Scala tuning script .scl
9	9√1,3.. = 1,03248	55,338...	21,685...			Scala tuning script .scl
10	10√1,3.. = 1,02919	49,8044	24,09...	proche 1/4 de ton	quasioctaviation, le 25e degré à 1195,31 cents [24√2=1,0293]
11	11√1,3.. = 1,0265	45,2767...	26,503...			Scala tuning script .scl
12*	12√1,3.. = 1,02426	41,5...	28,915...			Scala tuning script .scl
13	13√1,3.. = 1,02238	38,311...	31,322...			Scala tuning script .scl
14	14√1,3.. = 1,02076	35,574...	33,6			Scala tuning script .scl
15	15√1,3.. = 1,01936	33,203...	36,141...	proche 1/6e de ton	quasioctaviation le 37e degré à 1195,31 cents [36√2=1,01944]
16	16√1,3.. = 1,01814	31,1278...	38,5507...			Scala tuning script .scl
17	17√1,3.. = 1,01707	29,2967...	40,9602...			Scala tuning script .scl
18	18√1,3.. = 1,01611	27,669...	43,369...			Scala tuning script .scl
19	19√1,3.. = 1,01526	26,21289...	45,779...			Scala tuning script .scl
20	20√1,3.. = 1,01449	24,902...	48,189...	proche 1/8e de ton	quasioctaviation, le 49e degré à 1195,31 cents [48√2=1,01455]
21	21√1,3.. = 1,01379	23,716...	50,598...			Scala tuning script .scl
22	22√1,3.. = 1,01316	22,638...	53		OCTAVIANTE 53√2=1,01316	Scala tuning script .scl
23	23√1,3.. = 1,01259	21,654...	55,417...			Scala tuning script .scl
24	24√1,3.. = 1,01206	20,752...	57,826...			Scala tuning script .scl
25	25√1,3.. = 1,01157	19,9218	60,2355...	proche 1/10e de ton	quasioctaviation, le 61e degré à 1195,31 cents [60√2=1,01162]
26	26√1,3.. = 1,01113	19,1555...	62,645...			Scala tuning script .scl
27	27√1,3.. = 1,01071	18,446...	65,055...		PROCHOCTAVIANTE 65√2=1,01072	Scala tuning script .scl
28	28√1,3.. = 1,01033	17,787...	67,465...			Scala tuning script .scl
29	29√1,3.. = 1,00997	17,174...	69,873...			Scala tuning script .scl
30	30√1,3.. = 1,00964	16,6015..	72,282...	proche 1/12e de ton	quasioctaviation, le 73e degré à 1195,31 cents [72√2=1,00967]
31	31√1,3.. = 1,00932	16,066...	74,691...			Scala tuning script .scl
32	32√1,3.. = 1,00903	15,564...	77,101		PROCHOCTAVIANTE 77√2=1,00904	Scala tuning script .scl
33	33√1,3.. = 1,00876	15,092...	79,512...			Scala tuning script .scl
34	34√1,3.. = 1,0085	14,648...	81,922...			Scala tuning script .scl
35	35√1,3.. = 1,00825	14,23...	84,3288...	proche 1/14e de ton	quasioctaviation, le 85e degré à 1195,31 cents [84√2=1,00829]
36	36√1,3.. = 1,00802	13,834...	86,743...			Scala tuning script .scl
37	37√1,3.. = 1,00781	13,4606...	89,149...		PROCHOCTAVIANTE 89√2=1,00782	Scala tuning script .scl
38	38√1,3.. = 1,0076	13,106...	91,56			Scala tuning script .scl
39	39√1,3.. = 1,0074	12,77...	94		OCTAVIANTE 94√2=1,0074	Scala tuning script .scl
40	40√1,3.. = 1,00722	12,451..	96,378...	proche 1/16e de ton	quasioctaviation, le 97e degré à 1195,31 cents [96√2=1,00725]
...	...	...	...

nombre x de degrés dans le cycle	Rapports	en cent 701,955/x = y	notes/densité par octave 1200/y = z		en ton lequel ?	remarques	Division de la 5te égalisée téléchargements pour accorder son instrument et son écoute	Division de la 5te harmonique téléchargements pour accorder son instrument et son écoute
3	3√1,5 = 1,14 471	233,985	5,1285...		proche 7/6e de ton		Scala tuning script .scl
4	4√1,5 = 1,10 668	175,488...	6,838...		proche7/8e de ton		Scala tuning script .scl
5	5√1,5 = 1,08 447	140,391	8,547...		proche7/10e de ton		Scala tuning script .scl
6	6√1,5 = 1,06 991	116,992..	10,257...		proche/12e de ton		Scala tuning script .scl
7	7√1,5 = 1,05 963	100,28...	11,966...		proche 1/2 de ton	12√2 = 1,05946 : le 13e à degré à 1203,35 cents
8	8√1,5 = 1,05 199	87,744...	13,676...		proche 7/16e de ton		Scala tuning script .scl
9	9√1,5 = 1,04 608	77,995...	15,3856...			α de Wendy Carlos	Scala tuning script .scl
10	10√1,5 = 1,04 138	70,195...	17,095...			17√2=1,04 162 : le 18e degré à 1193,32... cents	Scala tuning script .scl
11	11√1,5 = 1,03 755	63,814...	18,804...			β de Wendy Carlos. [19√2=1,03 716]	Scala tuning script .scl
12 *	12√1,5 = 1,03 437	58,49625	20,514...				Scala tuning script .scl
13	13√1,5 = 1,02 74	53,996...	22,223...				Scala tuning script .scl
14	14√1,5 = 1,02 9385	50,139...	23,933...		proche 1/4 de ton	24√2 = 1,0 293 022 : le 25e degré à 1203,35 cents
15	15√1,5 = 1,02 74	46,797...	25,642...				Scala tuning script .scl
16	16√1,5 = 1,02 567	43,872...	27,352...				Scala tuning script .scl
17	17√1,5 = 1,02 414	41,291...	29,062...			: le 30e degré à 1197,45 cents \|29√2=1,02 419]	Scala tuning script .scl
18	18√1,5 = 1,02 278	38,9975...	30,771...			: le 32e degré à 1208,92 cents [31√2=1,02 261]	Scala tuning script .scl
19	19√1,5 = 1,02 157	36,945...	32,48...				Scala tuning script .scl
20	20√1,5 = 1,02 048	35,097...	34,191...			γ de Wendy Carlos	Scala tuning script .scl
21	21√1,5 = 1,01 95	33,426...	35,9		proche 1/6e de ton	: le 37e degré à 1203,35 cents [36√2 = 1,01944]
22	22√1,5 = 1,01 86	31,907045..	37,61...				Scala tuning script .scl
23	23√1,5 = 1,01 779	30,52...	39,318...				Scala tuning script .scl
24	24√1,5 = 1,01 704	29,248..	41,03...			: le 42e degré à 1199,17 cents [41√2 = 1,01703]	Scala tuning script .scl
25	25√1,5 = 1,01 635	28,0782	42,74...				Scala tuning script .scl
26	26√1,5 = 1,01 572	26,998...	44,44...				Scala tuning script .scl
27	27√1,5 = 1,01 513	25,99833..	46,156...				Scala tuning script .scl
28	28√1,5 = 1,01 459	25,07...	47,86...			48√2 = 1,01455 : le 48e degré à à 1203,35 cents
29	29√1,5 = 1,01 408	24,205...	49,57...				Scala tuning script .scl
30	30√1,5 = 1,01 361	23,3985	51,28...				Scala tuning script .scl
31	31√1,5 = 1,01 317	22,64...	52,99...			53√2 = 1,01316 : le 54e degré à 1222,76 cents	Scala tuning script .scl
32	32√1,5 = 1,01 275	21,93609375	54,70...				Scala tuning script .scl
33	33√1,5 = 1,01 236	21,27136..	56,41...			le 57e degré est à 1191,19 cents	Scala tuning script .scl
34	34√1,5 = 1,012	20,645...	58,12...			58√2 = 1,01202 : le 59e degré est à 1197,45 cents	Scala tuning script .scl
35	35√1,5 = 1,01162	20,056...	59,83...		proche 1/10e de ton	60√2 = 1,01162 : le 61e degré à 1203,35 cents
36	36√1,5 = 1,01133	19,49875	61,54...				Scala tuning script .scl
37	37√1,5 = 1,01102	18,971 756..	63,25...				Scala tuning script .scl
38	38√1,5 = 1,01073	18,4725	64,96...				Scala tuning script .scl
39	39√1,5 = 1,01045	17,9988... (18)	66,67...				Scala tuning script .scl
40	40√1,5 = 1,01019	17,548875	68,38...				Scala tuning script .scl
41	41√1,5 = 1,00994	17,12...	70,09...			70√2 = 1,00995 : le 71e degré à 1215,58 cents	Scala tuning script .scl
42	42√1,5 = 1,0097	16,71...	71,8...			72√2 = 1,00967 : le 72e degré est à 1220,06 cents
43	43√1,5 = 1,00947	16,32...	73,51...				Scala tuning script .scl
44	44√1,5 = 1,00926	15,953522 72..	75,21...				Scala tuning script .scl
45	45√1,5 = 1,00905	15,599.. (15,6)	76,92...				Scala tuning script .scl
46	46√1,5 = 1,00885	15,26...	78,63...				Scala tuning script .scl
47	47√1,5 = 1,00866	14,93...	80,34...				Scala tuning script .scl
48	48√1,5 = 1,00848	14,624062520833..	82,05...			82√2 = 1,00849 : le 83e degré est à 1199,17 cents	Scala tuning script .scl
49	49√1,5 = 1,00831	14,32...	83,76...			84√2 = 1,00829 et, le 85e degré à 1203,35 cents
50	50√1,5 = 1,00814	14,03910002	85,475...				Scala tuning script .scl
51	51√1,5 = 1,00798	13,76...	87,18...				Scala tuning script .scl
52	52√1,5 = 1,00783	13,5...	88,89...				Scala tuning script .scl
53	53√1,5 = 1,00768	13,24...	90,6...				Scala tuning script .scl
54	54√1,5 = 1,00754	13,...	92,31...				Scala tuning script .scl
55	55√1,5 = 1,0074	12,7628182	94,023...			94√2 = 1,0074 : le 95e degré à 1203,35 cents	Scala tuning script .scl
56	56√1,5 = 1,00727	12,535...	95,73...			96√2 = 1,00725 et, le 97e degré est à 1203,35 cents
...	...	...	...	...	...	...

nombre x de degrés dans le cycle	Rapports	en cent 795,558/x = y	notes densité/ par octave 1200/y =		en ton	remarques	échelles des divisions de la 6m égalisée téléchargements pour accorder son instrument et son écoute	échelles des divisions de la 6m dédevicesimale téléchargements pour accorder son instrument et son écoute
3	3√19/12 = 1,16553...	265,18...	4,525...		+ petit et proche 4/3 de ton	quasi pentatonique nonoctaviante	Scala tuning script .scl
4	4√19/12 = 1,12174...	198,88...	6,03		assimilée au ton	quasioctaviation entre le 6e et 7e degrés
5	5√19/12 = 1,09626...	159,1116...	7,54...		proche 4/5e de ton 160 cents		Scala tuning script .scl
6	6√19/12 = 1,0796...	132,59...	9,05		assimilée à 2/3 de ton 133,33.. cents	quasioctaviation entre le 9e et 10e degrés
7	7√19/12 = 1,06785...	113,651145	10,56...		proche 4/7e de ton 112,5 cents		Scala tuning script .scl
8	8√19/12 = 1,05912...	99,444751875	12,067...		assimilée au 1/2 ton	quasioctaviation entre le 12e et 13e degrés
9	9√19/12 = 1,05239...	88,395335	12,57...		proche 4/9e de ton 88,88..		Scala tuning script .scl
10	10√19/12 = 1,04703...	79,5558015	15,083...		proche 2/5e de ton =	15√2=1,04729
11	11√19/12 = 1,04266...	72,3234...	16,59...		proche 4/11e de ton =	1,04291 (72,72.. cents)	Scala tuning script .scl
12*	12√19/12 = 1,03904...	66,29650125	18,1...		assimilée 1/3 de ton = 66,66.. cents	quasioctaviation entre le 18e et 19e degrés
13	13√19/12 = 1,03598...	61,19...	19,61...		proche 4/13e de ton = 61,53 cents		Scala tuning script .scl
14	14√19/12 = 1,03337...	56,8255725	21,12...		2/7e de ton	quasioctaviation entre 21e et 22e degrés
15	15√19/12 = 1,03111...	53,037201	22,62...		proche 4/15e de ton		Scala tuning script .scl
16	16√19/12 = 1,02914...	49,7223759375	24,134...		assimilée au 1/4 de ton	quasioctaviation entre 24e et 25e degrés
17	17√19/12 = 1,0274...	46,79...	25,64...		proche 4/17e de ton		Scala tuning script .scl
18	18√19/12 = 1,0586...	44,1976675	27,15...		assimilée au 2/9e de ton	quasioctaviation entre 27e et 28e degrés
19	19√19/12 = 1,02448...	41,87...	28,66...		proche 4/19e de ton		Scala tuning script .scl
20	20√19/12 = 1,02324...	39,77790075	30,17...		assimilée au 1/5e de ton	quasioctaviation entre 30e et 25e degrés
21	21√27/17 = 1,02227	800/21 = 38,095...	1200/38,095...	= 31,5	4/21e de ton		Scala tuning script .scl
22	22√27/17 = 1,02125	800/22 = 36,36..	1200/36,36..	= 33	2/11e de ton	octaviation Z33
23	23√27/17 = 1,02032	800/23 = 34,78...	1200/34,78...	= 34,5	4/23e de ton		Scala tuning script .scl
24	24√27/17 = 1,01946	800/24 = 33,33..	1200/	= 36	1/6e de ton	octaviation Z36
25	25√27/17 = 1,01868	800/25 = 32	1200/32	= 37,5	4/25e de ton		Scala tuning script .scl
26	26√27/17 = 1,01795	800/26 = 30,769...	1200/30,769...	= 39	2/13e de ton	octaviation Z39
27	27√27/17 = 1,01728	800/27 = 29,62...	1200/29,62...	= 40,5	4/27e de ton		Scala tuning script .scl
28	28√27/17 = 1,01666	800/28 = 28,57...	1200/28,57...	= 42	1/7e de ton	octaviation Z42
29	29√27/17 = 1,01608	800/29 = 27,58...	1200/27,58...	= 43,5	4/29e de ton		Scala tuning script .scl
30	30√27/17 = 1,01554	800/30 = 26,66..	1200/26,66..	= 45	2/15e de ton	octaviation Z45
31	31√27/17 = 1,01504	800/31 = 25,806...	1200/25,806...	= 46,5	4/31e de ton		Scala tuning script .scl
32	32√27/17 = 1,01456	800/32 = 25	1200/25	= 48	1/8e de ton	octaviation Z48
33	33√27/17 = 1,01412	800/33 = 24,24..	1200/24,24..	= 49,5	4/33e de ton		Scala tuning script .scl
34	34√27/17 = 1,0137	800/34 = 23,53...	1200/23,53...	= 51	2/17e de ton	octaviation Z51
35	35√27/17 = 1,01331	800/35 = 22,85...	1200/22,85...	= 52,5	4/35e de ton		Scala tuning script .scl
36	36√27/17 = 1,01293	800/36 = 22,22..	1200/22,22..	= 54	1/9e de ton	octaviation Z54
37	37√27/17 = 1,01258	800/37 = 21,62...	1200/21,62...	= 55,5	4/37e de ton		Scala tuning script .scl
38	38√27/17 = 1,01225	800/38 = 21,05...	1200/21,05...	= 57	2/19e de ton	octaviation Z57
39	39√27/17 = 1,01193	800/39 = 20,51...	1200/20,51...	= 58,5	4/39e de ton		Scala tuning script .scl
40	40√27/17 = 1,01163	800/40 = 20	1200/20	= 60	1/10e de ton	octaviation Z60
41	41√27/17 = 1,01135	800/41 = 19,51...	1200/19,51...	= 61,5	4/41e de ton		Scala tuning script .scl
42	42√27/17 = 1,01108	800/42 = 19,04...	1200/19,04...	= 63	2/21e de ton	octaviation Z63
43	43√27/17 = 1,01082	800/43 = 18,604...	1200/18,604...	= 64,5	4/43e de ton		Scala tuning script .scl
44	44√27/17 = 1,01057	800/44 = 18,18..	1200/18,18..	= 66	1/11e de ton	octaviation Z66
45	45√27/17 = 1,01033	800/45 = 17,77..	1200/17,77..	= 67,5	4/45e de ton		Scala tuning script .scl
46	46√27/17 = 1,01011	800/46 = 17,39...	1200/17,39...	= 69	2/23e de ton	octaviation Z69
47	47√27/17 = 1,00989	800/47 = 17,02...	1200/17,02...	= 70,5	4/47e de ton		Scala tuning script .scl
48	48√27/17 = 1,00968	800/48 = 16,66..	1200/16,66..	= 72	1/12e de ton	octaviation Z72
49	49√27/17 = 1,00949	800/49 = 16,32...	1200/16,32...	= 73,5			Scala tuning script .scl
50	50√27/17 = 1,0093	800/50 = 16	1200/16	= 75	2/25e de ton	octaviation Z75
51	51√27/17 = 1,00911	800/51 = 15,68...	1200/15,68...	= 76,5			Scala tuning script .scl
52	52√27/17 = 1,00894	800/52 = 15,38...	1200/15,38...	= 78	1/13e de ton	octaviation Z78
53	53√27/17 = 1,00877	800/53 = 15,09434	1200/15,09434	= 79,5			Scala tuning script .scl
54	54√27/17 = 1,0086	800/54 = 14,814...	1200/14,814...	= 81	2/27e de ton	octaviation Z81
55	55√27/17 = 1,00845	800/55 = 14,54..	1200/14,54..	= 82,5			Scala tuning script .scl
56	56√27/17 = 1,0083	800/56 = 14,28...	1200/14,28...	= 84	1/14e de ton	octaviation Z84
57	57√27/17 = 1,00815	800/57 = 14,03...	1200/14,03...	= 85,5			Scala tuning script .scl
58	58√27/17 = 1,00801	800/58 = 13,79...	1200/13,79...	= 87	2/29e de ton	octaviation Z87
59	59√27/17 = 1,00787	800/59 = 13,56...	1200/13,56...	= 88,5			Scala tuning script .scl
60	60√27/17 = 1,00774	800/60 = 13,33..	1200/13,33..	= 90	1/15e de ton	octaviation Z90
61	61√27/17 = 1,00761	800/61 = 13,11...	1200/13,11...	= 91,5			Scala tuning script .scl
62	62√27/17 = 1,00749	800/62 = 12,903...	1200/12,903...	= 93	2/31e de ton	octaviation Z93
63	63√27/17 = 1,00737	800/63 = 12,69...	1200/12,69...	= 94,5			Scala tuning script .scl
64	64√27/17 = 1,00725	800/64 = 12,5	1200/12,5	= 96	1/16e de ton	octaviation Z96
...	...	...	...	...	...	...

nombre x de degrés dans le cycle	Rapports n coupures de 1,6875	en cent	notes densité/ par octave		en ton	remarques	échelles des divisions de la 6M égalisée téléchargements pour accorder son instrument et son écoute	échelles des divisions de la 6M pythagorienne téléchargements pour accorder son instrument et son écoute
4	4√27/16 = 1,13975	900/4 = 225	1200/225	= 5,33..	9/8e de ton		Scala tuning script .scl
5	5√27/16 = 1,11032	900/5 = 180	1200/180	= 6,66..	9/10e de ton	membre des 53
6	6√27/16 = 1,09112	150,977	7,948...		proche 3/4 de ton	quasioctaviante à 8 degrés 8√2=1,09051
7	7√27/16 = 1,07761	129,41...		9,273..	proche 9/14e de ton
8	8√27/16 = 1,06759	900/8 = 112,5	1200/112,5	= 10,66..	4/7e de ton	membre des 53
9	9√27/16 =	900/9 = 100	1200/100	= 12	1/2 de ton	octaviante Z12
10	10√27/16 = 1,05372	900/10 = 90	1200/90	= 13,33..			Scala tuning script .scl
11	11√27/16 = 1,04872	900/11 = 81,81..	1200/81,81..	= 14,66..			Scala tuning script .scl
12*	12√27/16 =	900/12 = 75	1200/75	= 16	3/8e de ton	octaviante Z16
13	13√27/16 = 1,04107	900/13 = 69,23...	1200/69,23...	= 17,33..			Scala tuning script .scl
14	14√27/16 = 1,03808	900/14 = 64,28...	1200/64,28...	= 18,66..			Scala tuning script .scl
15	15√27/16 =	900/15 = 60	1200/60	= 20	3/10e de ton	octaviante Z20
16	16√27/16 = 1,03324	900/16 = 56,25	1200/56,25	= 21,33..			Scala tuning script .scl
17	17√27/16 = 1,03126	900/17 = 52,94...	1200/52,94...	= 22,66..			Scala tuning script .scl
18	18√27/16 =	900/18 =	1200/	= 24	1/4 de ton	octaviante Z24
19	19√27/16 = 1,02792	900/19 = 47,36...	1200/47,36...	= 25,33..			Scala tuning script .scl
20	20√27/16 = 1,02651	900/20 = 45	1200/45	= 26,66..			Scala tuning script .scl
21	21√27/16 =	900/21 =	1200/	= 28	3/14e de ton	octaviante Z28
22	22√27/16 = 1,02407	900/22 = 40,90..	1200/40,90..	= 29,33..			Scala tuning script .scl
23	23√27/16 = 1,02301	900/23 = 39,13...	1200/39,13...	= 30,66..			Scala tuning script .scl
24	24√27/16 =	900/24 =	1200/	= 32	3/16e de ton	octaviante Z32
25	25√27/16 = 1,02115	900/25 = 36	1200/36	= 33,33..			Scala tuning script .scl
26	26√27/16 = 1,02033	900/26 = 34,61...	1200/34,61...	= 34,66..			Scala tuning script .scl
27	27√27/16 =	900/27 =	1200/	= 36	1/6e de ton	octaviante Z36
28	28√27/16 = 1,01886	900/28 = 32,14...	1200/32,14...	= 37,33..			Scala tuning script .scl
29	29√27/16 = 1,01821	900/29 = 31,03...	1200/31,03...	= 38,66..			Scala tuning script .scl
30	30√27/16 =	900/30 =	1200/	= 40	3/20e de ton	octaviante Z40
31	31√27/16 = 1,01702	900/31 = 29,03...	1200/29,03...	= 41,33..			Scala tuning script .scl
32	32√27/16 = 1,01649	900/32 = 28,125	1200/28,125	= 42,66..			Scala tuning script .scl
33	33√27/16 =	900/33 =	1200/	= 44	3/22e de ton	octaviante Z44
34	34√27/16 = 1,01551	900/34 = 26,47...	1200/26,47...	= 45,33..			Scala tuning script .scl
35	35√27/16 = 1,01506	900/35 = 25,71...	1200/25,71...	= 46,66..			Scala tuning script .scl
36	36√27/16 =	900/36 =	1200/	= 48	1/8e de ton	octaviante Z48
37	37√27/16 = 1,01424	900/37 = 24,324...	1200/24,324...	= 49,33..			Scala tuning script .scl
38	38√27/16 = 1,01386	900/38 = 23,68...	1200/23,68...	= 50,66..			Scala tuning script .scl
39	39√27/16 =	900/39 =	1200/	= 52	3/26e de ton	octaviante Z52
40	40√27/16 = 1,01317	900/40 = 22,5	1200/22,5	= 53,33..			Scala tuning script .scl
41	41√27/16 = 1,01284	900/41 = 21,95...	1200/21,95...	= 54,66..			Scala tuning script .scl
42	42√27/16 =	900/42 =	1200/	= 56	3/28e de ton	octaviante Z56
43	43√27/16 = 1,01224	900/43 = 20,93...	1200/20,93...	= 57,33..			Scala tuning script .scl
44	44√27/16 = 1,01196	900/44 = 20,45...	1200/20,45...	= 58,66..			Scala tuning script .scl
45	45√27/16 =	900/45 =	1200/	= 60	1/10e de ton	octaviante Z60
46	46√27/16 = 1,01144	900/46 = 19,56...	1200/19,56...	= 61,33..			Scala tuning script .scl
47	47√27/16 = 1,0112	900/47 = 19,14...	1200/19,14...	= 62,66..			Scala tuning script .scl
48	48√27/16 =	900/48 =	1200/	= 64	3/32e de ton	octaviante Z64
49	49√27/16 = 1,01074	900/49 = 18,36...	1200/18,36...	= 65,33..			Scala tuning script .scl
50	50√27/16 = 1,01052	900/50 = 18	1200/18	= 66,66..			Scala tuning script .scl
51	51√27/16 =	900/51 =	1200/	= 68	3/34e de ton	octaviante Z68
52	52√27/16 = 1,01011	900/52 = 17,31...	1200/17,31...	= 69,33..			Scala tuning script .scl
53	53√27/16 = 1,00992	900/53 = 16,98...	1200/16,98...	= 70,66..			Scala tuning script .scl
54	54√27/16 =	900/54 =	1200/	= 72	1/12e de ton	octaviante Z72
55	55√27/16 = 1,00956	900/55 = 16,36..	1200/16,36..	= 73,33..			Scala tuning script .scl
56	56√27/16 = 1,00939	900/56 = 16,07...	1200/16,07...	= 74,66..			Scala tuning script .scl
57	57√27/16 =	900/57 =	1200/	= 76	3/38e de ton	octaviante Z76
58	58√27/16 = 1,00906	900/58 = 15,51...	1200/15,51...	= 77,33..			Scala tuning script .scl
59	59√27/16 = 1,00891	900/59 = 15,25...	1200/15,25...	= 78,66..			Scala tuning script .scl
60	60√27/16 =	900/60 =	1200/	= 80	3/40e de ton	octaviante Z80
61	61√27/16 = 1,00861	900/61 = 14,75...	1200/14,75...	= 81,33..			Scala tuning script .scl
62	62√27/16 = 1,00848	900/62 = 14,51...	1200/14,51...	= 82,66..			Scala tuning script .scl
63	63√27/16 =	900/63 =	1200/	= 84	1/14e de ton	octaviante Z84
64	64√27/16 = 1,00821	900/64 = 14,0625	1200/14,0625	= 85,33..			Scala tuning script .scl
65	65√27/16 = 1,00808	900/65 = 13,84...	1200/13,84...	= 86,66..			Scala tuning script .scl
66	66√27/16 =	900/66 =	1200/	=88	3/44e de ton	octaviante Z88
67	67√27/16 = 1,00784	900/67 = 13,43...	1200/13,43...	= 89,33..			Scala tuning script .scl
68	68√27/16 = 1,00772	900/68 = 13,23...	1200/13,23...	= 90,66..			Scala tuning script .scl
69	69√27/16 =	900/69 =	1200/	=92	3/46e de ton	octaviante Z92
70	70√27/16 = 1,0075	900/70 = 12,85...	1200/12,85...	= 93,33..			Scala tuning script .scl
71	71√27/16 = 1,0074	900/71 = 12,67...	1200/12,67...	= 94,66..			Scala tuning script .scl
72	72√27/16 =	900/72 =	1200/	= 96	1/16e de ton	octaviation Z96
73	73√27/16 = 1,00719	900/73 = 12,32...	1200/12,32...	= 97,33..			Scala tuning script .scl

nombre x de degrés dans le cycle	Rapports n coupures de	en cent 1019.55/x=y	nombre de notes densité/ par octave	en ton [approx]	remarques	téléchargements pour accorder son instrument et son écoute
4	4√59049/32768 = 1,15862	254,8875	4,708...	proche 5/4 de ton
5	5√59049/32768 = 1,125	203,91...	5,885...	quasiton	6√2=1,12246
6	6√59049/32768 = 1,10313	1000/6 = 166,66..
7	7√59049/32768 = 1,08777	145,65...	8,2389...
8	8√59049/32768 = 1,07639	1000/8 = 125		proche 5/8e de ton
9	9√59049/32768 = 1,06762	1000/9 = 111,11..
10	10√59049/32768 = 1,06066	101,95	11,77...	proche 1/2 ton	12√2=1,05946
11	11√59049/32768 = 1,055	1000/11 = 90,90..
12*	12√59049/32768 = 1,0503	84,9625...	14,12...		14√2=1,05076
13	13√59049/32768 = 1,04634	1000/13 = 76,92...
14	14√59049/32768 = 1,04296	1000/14 = 71,42...
15	15√59049/32768 = 1,04004	1000/15 = 66,66..	18	1/3 de ton	1,03926 OCT
16	16√59049/32768 = 1,03749	1000/16 = 62,5
17	17√59049/32768 = 1,03525	1000/17 = 58,82
18	18√59049/32768 = 1,03326	1000/18 = 55,55..
19	19√59049/32768 = 1,03148	1000/19 = 52,63...
20	20√59049/32768 = 1,02988	1000/20 = 50	24	1/4 de ton	1,0293 OCT
21	21√59049/32768 = 1,02844	1000/21 = 47,62....
22	22√59049/32768 = 1,02713	1000/22 = 45,45..
23	23√59049/32768 = 1,02594	1000/23 = 43,47...
24	24√59049/32768 = 1,02484	1000/24 = 41,66..
25	25√59049/32768 = 1,02384	1000/25 = 40	30	1/5e de ton	1,02337 OCT
26	26√59049/32768 = 1,02291	1000/26 = 38,46...
27	27√59049/32768 = 1,2205	1000/27 = 37,03...
28	28√59049/32768 = 1,02126	1000/28 = 35,71...
29	29√59049/32768 = 1,02052	1000/29 = 34,48...
30	30√59049/32768 = 1,01982	1000/30 = 33,33..	36	1/6e de ton	1,01944 OCT
31	31√59049/32768 = 1,01918	1000/31 = 32,25...
32	32√59049/32768 = 1,01857	1000/32 = 31,25
33	33√59049/32768 = 1,01801	1000/33 = 30,30..
34	34√59049/32768 = 1,01747	1000/34 = 29,41...
35	35√59049/32768 = 1,01697	1000/35 = 28,57...	42	1/7e de ton	1,01664 OCT
36	36√59049/32768 = 1,01649	1000/36 = 27,77..
37	37√59049/32768 = 1,01604	1000/37 = 27,027..
38	38√59049/32768 = 1,01562	1000/38 = 26,31...
39	39√59049/32768 = 1,01521	1000/39 = 25,64...
40	40√59049/32768 = 1,01483	1000/40 = 25	48	1/8e de ton	1,01455 OCT
41	41√59049/32768 =	1000/41 = 24,39...
42	42√59049/32768 =	1000/42 = 23,81...
43	43√59049/32768 =	1000/43 = 23,25...
44	44√59049/32768 =	1000/44 = 22,72..
45	45√59049/32768 =	1000/45 = 22,22..	54	1/9e de ton	1,01292 OCT
46	46√59049/32768 =	1000/46 = 21,74...
47	47√59049/32768 =	1000/47 = 21,27...
48	48√59049/32768 =	1000/48 = 20,83.
49	49√59049/32768 =	1000/49 = 20,41...
50	50√59049/32768 =	1000/50 = 20	60	1/10e de ton	1,01162 OCT
51	51√59049/32768 =	1000/51 =
52	52√59049/32768 =	1000/52 =
53	53√59049/32768 =	1000/53 =
54	54√59049/32768 =	1000/54 =
55	55√59049/32768 =	1000/55 = 18,18..	66	1/11e de ton	1,01056 OCT
56	56√59049/32768 =	1000/56 =
57	57√59049/32768 =	1000/57 =
58	58√59049/32768 =	1000/58 =
59	59√59049/32768 =	1000/59 =
60	60√59049/32768 = 1,00986	1000/60 = 16,66..	72	1/12e de ton	1,00967 OCT
61	61√59049/32768 =	1000/61 =
62	62√59049/32768 =	1000/62 =
63	63√59049/32768 =	1000/63 =
64	64√59049/32768 =	1000/64 =
65	65√59049/32768 = 1,0091	1000/65 = 15,38...	78	1/13e de ton	1,00967 OCT
66	66√59049/32768 =	1000/66 =
67	67√59049/32768 =	1000/67 =
68	68√59049/32768 =	1000/68 =
69	69√59049/32768 =	1000/69 =
70	70√59049/32768 = 1,00845	1000/70 = 14,28...	84	1/14e de ton	1,00829 OCT
71	71√59049/32768 =	1000/71 =
72	72√59049/32768 =	1000/72 =
73	73√59049/32768 =	1000/73 =
74	74√59049/32768 =	1000/74 =
75	75√59049/32768 = 1,00788	1000/75 = 13,33..	90	1/15e de ton	1,00773 OCT
76	76√59049/32768 =	1000/76 =
77	77√59049/32768 =	1000/77 = 12,98...
78	78√59049/32768 =	1000/78 = 12,82...
79	79√59049/32768 =	1000/79 =
80	80√59049/32768 = 1,00739	1000/80 = 12,5	96	1/16e de ton	1,00725 OCT

nombre x de degrés dans le cycle	Rapports n coupures de	en cent 1126,32/x=y	nombre de notes densité/par octave 1200/y=z	en ton [approximation]	remarques	téléchargements pour accorder son instrument et son écoute
4	4√23/12 = 1,17662	281,58...	4,261...
5	5√23/12 = 1,13896	225,264...	5,327...
6	6√23/12 =
7	7√23/12 = 1,0974	160,9...	7,458...
8	8√23/12 =
9	9√23/12 =
10	10√23/12 =
11	11√23/12 = 1,06093	102,392...	11,72...
12*	12√23/12 =
13	13√23/12 = 1,05132	86,64	13,85...
14	14√23/12 =
15	15√23/12 =
16	16√23/12 =
17	17√23/12 = 1,03901	66,254...	18,112...		18√2=1,03926
18	18√23/12 =
19	19√23/12 = 1,03483	59,28	20,243...
20	20√23/12
21	21√23/12
22	22√23/12
23	23√23/12 = 1,02869	48,97...	24,5...
24	24√23/12
25	25√23/12
26	26√23/12
27	27√23/12
28	28√23/12
29	29√23/12 = 1,02269	38,838...	30,897...
30	30√23/12
31	31√23/12 = 1,02121	36,33...	33,03...		33√2=1,02123 prochoctaviante
32	32√23/12
33	33√23/12
34	34√23/12
35	35√23/12
36	36√23/12
37	37√23/12 = 1,01774	30,441...	39,42...
38	38√23/12
39	39√23/12
40	40√23/12
41	41√23/12 = 1,01599	27,4712...	43,682...
42	42√23/12
43	43√23/12 = 1,01524	26,193...	45,813...
44	44√23/12
45	45√23/12
46	46√23/12
47	47√23/12 = 1,01394	23,96...	50,08...		50√2=1,01396 prochoctaviante
48	48√23/12
49	49√23/12
50	50√23/12
51	51√23/12
52	52√23/12
53	53√23/12 = 1,01235	21,25...	56,47...
54	54√23/12
55	55√23/12
56	56√23/12
57	57√23/12
58	58√23/12
59	59√23/12 = 1,01109	19,09	62,86...
60	60√23/12
61	61√23/12 = 1,01072	18,464...	64,991...		65√2=1,01072 OCTAVIANTE
62	62√23/12
63	63√23/12
64	64√23/12
65	65√23/12
66	66√23/12
67	67√23/12 = 1,00976	16,811...	71,382...
68	68√23/12
69	69√23/12
70	70√23/12
71	71√23/12 = 1,00921	15,863...	75,6477...
72	72√23/12
73	73√23/12 = 1,00895	15,429...	77,775
74	74√23/12
75	75√23/12
76	76√23/12
77	77√23/12
78	78√23/12
79	79√23/12 = 1,00827	14,257...	84,169...
80	80√23/12
81	81√23/12
82	82√23/12
83	83√23/12 = 1,00787	13,57...	88,43...
84	84√23/12
85	85√23/12
86	86√23/12
87	87√23/12
88	88√23/12
89	89√23/12 = 1,00734	12,655...	94,824...
90	90√23/12
91	91√23/12 = 1,00717	12,377...	96,954...

div 4te :	30 échelles nonoctaviantes	pour 8 échelles octaviantes :	1/2 ton, 1/4 de ton, 1/6e de ton, 1/8e de ton, 1/10e de ton, 1/12e de ton, 1/14e de ton, 1/16e de ton.
div 5te :	46 échelles nonoctaviantes	pour 8 échelles octaviantes	1/2 ton, 1/4 de ton, 1/6e de ton, 1/8e de ton, 1/10e de ton, 1/12e de ton, 1/14e de ton, 1/16e de ton : LES MÊMES
div 6te m :	31 échelles nonoctaviantes	pour 31 échelles octaviantes	1 ton, 2/3 de ton, 1/2 ton, 2/5e de ton, 1/3 de ton, 2/7e de ton, 1/4 de ton, 2/9e de ton, 1/5e de ton, 2/11e de ton, 1/6e de ton, 2/13e de ton, 1/7e de ton, 2/15e de ton, 1/8e de ton, 2/17 de ton, 1/9e de ton, 2/19e de ton, 1/10e de ton, 2/21e de ton, 1/11e de ton, 2/23e de ton, 1/12e de ton, 2/25e de ton, 1/13e de ton, 2/27e de ton, 1/14e de ton, 2/29e de ton, 1/15e de ton, 2/31e de ton, 1/16e de ton : dont 15 intervalles octaviants nouveaux.
div 6te M :	47 échelles nonoctaviantes	pour 23 échelles octaviantes	3/4 de ton, 1/2 de ton; 3/8e de ton, 3/10e de ton, 1/4 de ton, 3/14e de ton, 3/16e de ton, 1/6e de ton, 3/20e de ton, 3/22e de ton, 1/8e de ton, 3/26e de ton, 3/28e de ton, 1/10e de ton, 3/32e de ton, 3/34e de ton, 1/12e de ton, 3/38e de ton, 3/40e de ton, 1/14e de ton, 3/44e de ton, 3/46e de ton, 1/16e de ton : dont 14 intervalles octaviants nouveaux.
div 7m :	62 échelles nonoctaviantes	pour 15 échelles octaviantes	ton, 1/2 ton, 1/3 de ton, 1/4 de ton, 1/5e de ton, 1/6e de ton, 1/7e de ton, 1/8e de ton, 1/9e de ton, 1/10e de ton, 1/11e de ton, 1/12e de ton, 1/13e de ton, 1/14e de ton, 1/15e de ton, 1/16e de ton : LES MÊMES
	= 216	= 29