les échelles nonoctaviantes qui ne se calculent pas à partir de la division du ton

 

ce qui ne signifie pas qu'elles ne sont pas multiples

4eme exploration : du connu vers l'inconnu (3)

EXPLORATION III

 

L'exploration des échelles octaviantes tonalisées
nous a montré l'existence d'échelles nonoctaviantes au sein même du tempérament octaviant.
Pouvait-on s'y attendre ?

Ces découvertes nous apprennent que la nonoctaviation existe aussi dans la division d'autres intervalles (inclus dans l'octaviation tempérée puis égalisée) comme la quarte, la quinte, la sixte mineure, la sixte majeure, la septième mineure et majeure et les autres intervalles plus grands que l'octave. Avec les premières échelles nonoctaviantes tonales découvertes (celles à partir de la division du ton : voir l'abaque) certaines se retrouvent ici : 5 divisant la quarte, 4 divisant la quinte, 6 divisant la sixte mineure, 3 divisant la sixte majeure, 4 divisant la septième mineure, 3 divisant la septième majeure, 2 divisant l'octave et seconde mineure, etc. En + de tous ces intervalles tonaux nonoctaviants révélés dans leurs échelles, nous allons en révéler d'autres qui se dissimulent dans la division des 6 intervalles constituants nos modes : le majeur et les 3 mineurs (?). Explorer les fréquences de temps (les échelles de hauteurs sont des échelles de temps) pour découvrir d'autres échelles nonoctaviantes, d'autres sonorités scalaires qui ne se calculent pas à partir de la division du ton. Mais pourquoi avoir commencé l'exploration nonoctaviante par la division du ton ? Mieux vaut partir du connu vers l'inconnu que de l'inconnu vers l'inconnu pour ne pas brouiller ses repères ? Sachant que notre perception conditionnée ne peut pas encore percevoir les différences soniques entre les échelles numériquement distinctes.

 

]
. [Pierre Barbaud en nommant l'échelle égalisée de 12 1/2 tons, Z12 l'ensemble de 12 entiers relatifs, nous ouvre une voie : les 8 échelles de base tonale 1/16e de ton, 1/15e de ton, 1/14e de ton, 1/13e de ton, 1/12e de ton, 1/11e de ton, 1/10e de ton et 1/9e de ton se nomment dans la continuité de Pierre Barbaud : Z96, Z90, Z84, Z78, Z72, Z66, Z60 et Z54. Ces appellations sont liées à leur nombre de divisions dans l'octave.]

. [Nous nous posons des limites arbitraires, celles du Champ Scalaire des intervalles constituants les échelles nonoctaviantes à :

. entre 12,5 cents & 240 cents
. entre 96 & 5 degrés
. entre 1/16e de ton & 6/5e de ton
. entre 96√2 & 5√2 = 21/96 & 21/5
]

[

Tous les théoriciens font des tableaux de chiffres !
C'est rébarbatif à lire, et dans l'immédiat, à comprendre.
Chacun ses tableaux, suivant sa théorie !
Ça fait beaucoup de tableaux !
Un tableau, sans exemple sonore, l'est encore +.
Grâce aux « super-calculateurs » et
à un programme de traduction des chiffres en sons,
toutes ces échelles sont audibles !
Sur ton instrument numérique qui reconnait les fichiers Scala. Wow !
La table scalaire est comme la palette du peintre, on choisit les échelles qui conviennent pour sa musique.

 

ICI on divise les intervalles constituant notre mode majeur protohistorique (et au-delà)
Ces intervalles dans le champ scalaire deviennent les cycles striés des échelles nonoctaviantes
(comme le disait poétiquement Boulez à la place de dire : cycles divisionnaires)
Où 4te et 5te retiennent leurs rapports harmoniques
Et les autres, leurs approximations fractionnaires
où chaque savant durant notre histoire 5 millénaires a posé son intervalle
ou une manière de tourner toujours autour du même pot, dont ici on s'échappe enfin :

 

Les 12 intervalles (majeurs) ni égalisés ni tempérés (à part l'8ve) :

rang rapport en cent nom
00 1/1 0 unison, perfect prime
01 13/12 138,57... tridecimal 2/3-tone
02 7/6 266,87... septimal minor third
03 5/4 386,31... major third
04 4/3 498,045... perfect fourth
05 17/12 603,00... 2nd septendecimal tritone
06 3/2 701,95... perfect fifth
07 19/12 795,56... undevicesimal minor sixth
08 5/3 884,36... major sixth
09 7/4 968,82... harmonic seventh
10 11/6 1049,36... 21/4-tone, undecimal neutral seventh
11 23/12 1126,32... vicesimotertial major seventh
12 2/1 1200 octave

Repères en cent ? évaluation quantifiée retenue par les fabricants et les savants anglophonisés.

 

 

DIVISIONS des CYCLES

HORAIRES

1. Localisation de tous les degrés nonoctaviants
à partir des cycles historiques insérés dans l'octave

 

...TABLES EN RECONSTRUCTIONS...

[remarque : j'ai la qualité artistique de faire des erreurs de calcul, alors, toute correction est bienvenue :)]
[contacte le compositeur]

.

 

Cycle de la 4te
harmonique

 

Table des 38 divisions scalaires du cycle de la 4te harmonique : 4/3 = 1,33.. (498,044 999 cents)

nombre x
de degrés dans le cycle
Rapports en cent
498,044 999/x = y

nombre de notes
densité/ par octave
1200/y = z

approximation
en ton
égalisé
remarques


Division de
la 4te égalisée téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute

Division de
la 4te harmonique téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute
3 3√1,3.. = 1,10064 166,02... 7,23... proche 10/12e de ton   Scala tuning script .scl  
4 4√1,3.. = 1,07457 124,5... 9,6... proche 5/8e de ton   Scala tuning script .scl  
5 5√1,3.. = 1,05922 99,6 12,05... proche 1/2 ton quasioctaviation, le 13e degré à 1195,31 cents [12√2=1,05946]    
6 6√1,3.. = 1,04912 83,007... 14,4566... proche 5/12e de ton   Scala tuning script .scl  
7 7√1,3.. = 1,04195 71,149... 16,866... proche 5/14e de ton   Scala tuning script .scl  
8 8√1,3.. = 1,03661 62,2555 19,275... proche 5/16e de ton   Scala tuning script .scl  
9 9√1,3.. = 1,03248 55,338... 21,685...     Scala tuning script .scl  
10 10√1,3.. = 1,02919 49,8044 24,09... proche 1/4 de ton quasioctaviation, le 25e degré à 1195,31 cents [24√2=1,0293]    
11 11√1,3.. = 1,0265 45,2767... 26,503...     Scala tuning script .scl  
12* 12√1,3.. = 1,02426 41,5... 28,915...     Scala tuning script .scl  
13 13√1,3.. = 1,02238 38,311... 31,322...     Scala tuning script .scl  
14 14√1,3.. = 1,02076 35,574... 33,6     Scala tuning script .scl  
15 15√1,3.. = 1,01936 33,203... 36,141... proche 1/6e de ton quasioctaviation le 37e degré à 1195,31 cents [36√2=1,01944]    
16 16√1,3.. = 1,01814 31,1278... 38,5507...     Scala tuning script .scl  
17 17√1,3.. = 1,01707 29,2967... 40,9602...     Scala tuning script .scl  
18 18√1,3.. = 1,01611 27,669... 43,369...     Scala tuning script .scl  
19 19√1,3.. = 1,01526 26,21289... 45,779...     Scala tuning script .scl  
20 20√1,3.. = 1,01449 24,902... 48,189... proche 1/8e de ton quasioctaviation, le 49e degré à 1195,31 cents [48√2=1,01455]    
21 21√1,3.. = 1,01379 23,716... 50,598...     Scala tuning script .scl  
22 22√1,3.. = 1,01316 22,638... 53  

OCTAVIANTE
53√2=1,01316

Scala tuning script .scl  
23 23√1,3.. = 1,01259 21,654... 55,417...     Scala tuning script .scl  
24 24√1,3.. = 1,01206 20,752... 57,826...     Scala tuning script .scl  
25 25√1,3.. = 1,01157 19,9218 60,2355... proche 1/10e de ton quasioctaviation, le 61e degré à 1195,31 cents [60√2=1,01162]    
26 26√1,3.. = 1,01113 19,1555... 62,645...     Scala tuning script .scl  
27 27√1,3.. = 1,01071 18,446... 65,055...   PROCHOCTAVIANTE 65√2=1,01072 Scala tuning script .scl  
28 28√1,3.. = 1,01033 17,787... 67,465...     Scala tuning script .scl  
29 29√1,3.. = 1,00997 17,174... 69,873...     Scala tuning script .scl  
30 30√1,3.. = 1,00964 16,6015.. 72,282... proche 1/12e de ton quasioctaviation, le 73e degré à 1195,31 cents [72√2=1,00967]    
31 31√1,3.. = 1,00932 16,066... 74,691...
    Scala tuning script .scl  
32 32√1,3.. = 1,00903 15,564... 77,101   PROCHOCTAVIANTE 77√2=1,00904 Scala tuning script .scl  
33 33√1,3.. = 1,00876 15,092... 79,512...     Scala tuning script .scl  
34 34√1,3.. = 1,0085 14,648... 81,922...     Scala tuning script .scl  
35 35√1,3.. = 1,00825 14,23... 84,3288... proche 1/14e de ton quasioctaviation, le 85e degré à 1195,31 cents [84√2=1,00829]    
36 36√1,3.. = 1,00802 13,834... 86,743...     Scala tuning script .scl  
37 37√1,3.. = 1,00781 13,4606... 89,149...   PROCHOCTAVIANTE 89√2=1,00782 Scala tuning script .scl  
38 38√1,3.. = 1,0076 13,106... 91,56     Scala tuning script .scl  
39 39√1,3.. = 1,0074 12,77... 94   OCTAVIANTE
94√2=1,0074
Scala tuning script .scl  
40 40√1,3.. = 1,00722 12,451.. 96,378... proche 1/16e de ton quasioctaviation, le 97e degré à 1195,31 cents [96√2=1,00725]    
... ... ... ...        

Observons que la division équidistante de la 4te harmonique ne donne pas les rapports mêmes rapprochés qui divisent la quarte égalisée à 500 cents contre 498,044 999 cents. Cette minime différence provoque un retournement suppositoire où les échelles octaviantes prédisposées ou attendues ne sont plus octaviantes (ou assimilées quasioctaviantes) et découvre des échelles strictement octaviantes là où on ne s'attend pas : 22√1,3.. = 53√2 = 1,01316 et 39√1,3.. = 94√2 = 1,0074

Donc, des 38 divisions de la quarte harmonique, de 3 à 40 stries, il y a 2 échelles strictement octaviantes : 22 pas dans une 4te harmonique = 53 pas dans une 8ve et 39 pas dans une 4te harmonique = 94 pas dans une 8ve, 3 échelles prochoctaviantes : 27 pour 65, 32 pour 77 et 37 pour 89 et : les 8 échelles assimilées pour octaviantes qui ne le sont pas, nous avons donc 33 échelles nonoctaviantes pour 3 échelles strictement octaviantes, 3 échelles prochoctaviantes et 8 assimilées qui ne le sont pas.

 

Remarque :
Les PROCH8ves et QUASI8ves se détectent à l'écoute ou l'évaluation audible se range à considérer différentes qualités d'8ves qui se satellisent autour de 2, ou de l'autre point de vue, considère qu'une 8ve qui n'est pas 2 perd sa désignation d'8ve : c'est selon. Prendre son parti, n'a en fait aucune importance, car toute considération octaviante ou nonoctaviante dépend du contexte harmonique de la musique ou de l'intention scalaire et du compositeur et des musiciens qui interprètent un point de vue qui peu prendre l'un ou l'autre bord.

 

Marc - Quelle audition peut différencier une quarte harmonique d'une quarte égalisée ?

Math - Un intervalle isolé de son contexte est assimilarisé ou confondu plus facilement, on entend les différences à l'usage quand ces intervalles assimilarisés s'écartent, là, les différences s'accentuent pour être perçues.

 

 

Tables à imprimer :

Table des 38 divisions scalaires du cycle de la 4te harmonique [A3].pdf

Table des 38 divisions scalaires du cycle de la 4te égalisée [A3].pdf

Paquets d'échelles pour tout entendre :

dOwnlOad the 30 nonoctave scales dividing the equal 4th (.scl files zip 12Ko)
télé-charge les 30 échelles nonoctaviantes issues de la 4te égalisée

dOwnload the 36 nonoctave scales + 2 octaves dividing the harmonicth (.scl)
télécharche les 36 échelles nonoctaviantes issues de la 4te harmonique + les 2 octaviantes

.

.

Cycle de la 5te
harmonique

 

Table des 54 divisions scalaires du cycle de la 5te harmonique : 3/2 = 1,25 (701,955001 cents)

nombre x
de degrés dans le cycle
Rapports en cent
701,955/x = y

notes/densité par octave
1200/y = z

en ton
lequel ?
remarques

Division de la 5te égalisée téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute

Division de la 5te harmonique téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute
3 3√1,5 = 1,14 471 233,985 5,1285... proche 7/6e de ton   Scala tuning script .scl  
4 4√1,5 = 1,10 668 175,488... 6,838... proche7/8e de ton   Scala tuning script .scl  
5 5√1,5 = 1,08 447 140,391 8,547... proche7/10e de ton   Scala tuning script .scl  
6 6√1,5 = 1,06 991 116,992.. 10,257... proche/12e de ton   Scala tuning script .scl  
7 7√1,5 = 1,05 963 100,28... 11,966... proche 1/2 de ton 12√2 = 1,05946 : le 13e à degré à 1203,35 cents    
8 8√1,5 = 1,05 199 87,744... 13,676... proche 7/16e de ton   Scala tuning script .scl  
9 9√1,5 = 1,04 608 77,995... 15,3856...   α de Wendy Carlos Scala tuning script .scl  
10 10√1,5 = 1,04 138 70,195... 17,095...   17√2=1,04 162 : le 18e degré à 1193,32... cents Scala tuning script .scl  
11 11√1,5 = 1,03 755 63,814... 18,804...   β de Wendy Carlos.     [19√2=1,03 716] Scala tuning script .scl  
12 * 12√1,5 = 1,03 437 58,49625 20,514...     Scala tuning script .scl  
13 13√1,5 = 1,02 74 53,996... 22,223...     Scala tuning script .scl  
14 14√1,5 = 1,02 9385 50,139... 23,933... proche 1/4 de ton 24√2 = 1,0 293 022 : le 25e degré à 1203,35 cents    
15 15√1,5 = 1,02 74 46,797... 25,642...     Scala tuning script .scl  
16 16√1,5 = 1,02 567 43,872... 27,352...     Scala tuning script .scl  
17 17√1,5 = 1,02 414 41,291... 29,062...   : le 30e degré à 1197,45 cents |29√2=1,02 419] Scala tuning script .scl  
18 18√1,5 = 1,02 278 38,9975... 30,771...   : le 32e degré à 1208,92 cents [31√2=1,02 261] Scala tuning script .scl  
19 19√1,5 = 1,02 157 36,945... 32,48...     Scala tuning script .scl  
20 20√1,5 = 1,02 048 35,097... 34,191...   γ de Wendy Carlos Scala tuning script .scl  
21 21√1,5 = 1,01 95 33,426... 35,9 proche 1/6e de ton : le 37e degré à 1203,35 cents [36√2 = 1,01944]    
22 22√1,5 = 1,01 86 31,907045.. 37,61...     Scala tuning script .scl  
23 23√1,5 = 1,01 779 30,52... 39,318...     Scala tuning script .scl  
24 24√1,5 = 1,01 704 29,248.. 41,03...   : le 42e degré à 1199,17 cents [41√2 = 1,01703] Scala tuning script .scl  
25 25√1,5 = 1,01 635 28,0782 42,74...     Scala tuning script .scl  
26 26√1,5 = 1,01 572 26,998... 44,44...     Scala tuning script .scl  
27 27√1,5 = 1,01 513 25,99833.. 46,156...     Scala tuning script .scl  
28 28√1,5 = 1,01 459 25,07... 47,86...   48√2 = 1,01455 : le 48e degré à à 1203,35 cents    
29 29√1,5 = 1,01 408 24,205... 49,57...     Scala tuning script .scl  
30 30√1,5 = 1,01 361 23,3985 51,28...     Scala tuning script .scl  
31 31√1,5 = 1,01 317 22,64... 52,99...
  53√2 = 1,01316 : le 54e degré à 1222,76 cents Scala tuning script .scl  
32 32√1,5 = 1,01 275 21,93609375 54,70...     Scala tuning script .scl  
33 33√1,5 = 1,01 236 21,27136.. 56,41...   le 57e degré est à 1191,19 cents Scala tuning script .scl  
34 34√1,5 = 1,012 20,645... 58,12...   58√2 = 1,01202 : le 59e degré est à 1197,45 cents Scala tuning script .scl  
35 35√1,5 = 1,01162 20,056... 59,83... 1/10 de ton 60√2 = 1,01162 : le 61e degré à 1203,35 cents    
36 36√1,5 = 1,01133 19,49875 61,54...     Scala tuning script .scl  
37 37√1,5 = 1,01102 18,971 756.. 63,25...     Scala tuning script .scl  
38 38√1,5 = 1,01073 18,4725 64,96...     Scala tuning script .scl  
39 39√1,5 = 1,01045 17,9988... (18) 66,67...     Scala tuning script .scl  
40 40√1,5 = 1,01019 17,548875 68,38...     Scala tuning script .scl  
41 41√1,5 = 1,00994 17,12... 70,09...   70√2 = 1,00995 : le 71e degré à 1215,58 cents Scala tuning script .scl  
42 42√1,5 = 1,0097 16,71... 71,8...   72√2 = 1,00967 : le 72e degré est à 1220,06 cents    
43 43√1,5 = 1,00947 16,32... 73,51...     Scala tuning script .scl  
44 44√1,5 = 1,00926 15,953522 72.. 75,21...     Scala tuning script .scl  
45 45√1,5 = 1,00905 15,599.. (15,6) 76,92...     Scala tuning script .scl  
46 46√1,5 = 1,00885 15,26... 78,63...     Scala tuning script .scl  
47 47√1,5 = 1,00866 14,93... 80,34...     Scala tuning script .scl  
48 48√1,5 = 1,00848 14,624062520833.. 82,05...   82√2 = 1,00849 : le 83e degré est à 1199,17 cents Scala tuning script .scl  
49 49√1,5 = 1,00831 14,32... 83,76...   84√2 = 1,00829 et, le 85e degré à 1203,35 cents    
50 50√1,5 = 1,00814 14,03910002 85,475...     Scala tuning script .scl  
51 51√1,5 = 1,00798 13,76... 87,18...     Scala tuning script .scl  
52 52√1,5 = 1,00783 13,5... 88,89...     Scala tuning script .scl  
53 53√1,5 = 1,00768 13,24... 90,6...     Scala tuning script .scl  
54 54√1,5 = 1,00754 13,... 92,31...     Scala tuning script .scl  
55 55√1,5 = 1,0074 12,7628182 94,023...   94√2 = 1,0074 : le 95e degré à 1203,35 cents Scala tuning script .scl  
56 56√1,5 = 1,00727 12,535... 95,73...   96√2 = 1,00725 et, le 97e degré est à 1203,35 cents    
... ... ... ... ... ... ...    

Contrairement à la 4te harmonique, la 5te harmonique "taquine" l'8ve.

A considérer l'octaviation proche en dessous de 12,5 cents <=> 1/16e de ton ; Des 54 divisions égales de la quinte harmonique, de 3 à 56 stries, il n'y a aucune échelle strictement octaviante,

Ajoutons une propriété inattendue où la quasi octaviation à quelques 3 cents près se réalise au degré inférieur à celui attendu : une octave redondante à 1203,35 cents

 

Tables à imprimer :

Table des 54 divisions scalaires du cycle de la 5te égalisée [A3].pdf

Table des 54 divisions scalaires du cycle de la 5te harmonique [A3].pdf

Paquets d'échelles pour tout entendre :

dOwnlOad the 46 nonoctave scales dividing the equal 5th (.scl files zip 20Ko)
Télé-charge les 46 échelles nonoctaviantes issues de la 5te égalisée

 

 

Cycle de la 6te mineure
dédevicesimale

 

Table des 62 divisions scalaires du cycle de la 6te mineure : ou : de la 6te mineure "undevicesimal" : 19/12 = 1,5833.. (795,558015 cents)
(il existe une sixte mineur septendecimal 27/17 = 1,588... à 800,909 593 cents, mais un peu trop proche de la 6m égalisée : 800 cents)

nombre x
de degrés
dans le cycle

Rapports en cent
795,558/x = y

notes densité/ par octave
1200/y =

en ton remarques

échelles des divisions de la 6m égalisée
téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute

échelles des divisions de
la 6m dédevicesimale téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute
3 3√19/12 = 1,16553... 265,18... 4,525... + petit et proche 4/3 de ton quasi pentatonique nonoctaviante Scala tuning script .scl  
4 4√19/12 = 1,12174... 198,88... 6,03 assimilée au ton quasioctaviation entre le 6e et 7e degrés    
5 5√19/12 = 1,09626... 159,1116... 7,54... proche 4/5e de ton 160 cents   Scala tuning script .scl  
6 6√19/12 = 1,0796... 132,59... 9,05 assimilée à 2/3 de ton 133,33.. cents quasioctaviation entre le 9e et 10e degrés    
7 7√19/12 = 1,06785... 113,651145 10,56... proche 4/7e de ton 112,5 cents   Scala tuning script .scl  
8 8√19/12 = 1,05912... 99,444751875 12,067... assimilée au 1/2 ton quasioctaviation entre le 12e et 13e degrés    
9 9√19/12 = 1,05239... 88,395335 12,57... proche 4/9e de ton 88,88..   Scala tuning script .scl  
10 10√19/12 = 1,04703... 79,5558015 15,083... proche 2/5e de ton = 15√2=1,04729    
11 11√19/12 = 1,04266... 72,3234... 16,59... proche 4/11e de ton = 1,04291 (72,72.. cents) Scala tuning script .scl  
12* 12√19/12 = 1,03904... 66,29650125 18,1... assimilée 1/3 de ton = 66,66.. cents quasioctaviation entre le 18e et 19e degrés    
13 13√19/12 = 1,03598... 61,19... 19,61... proche 4/13e de ton = 61,53 cents   Scala tuning script .scl  
14 14√19/12 = 1,03337... 56,8255725 21,12... 2/7e de ton quasioctaviation entre 21e et 22e degrés    
15 15√19/12 = 1,03111... 53,037201 22,62... proche 4/15e de ton   Scala tuning script .scl  
16 16√19/12 = 1,02914... 49,7223759375 24,134... assimilée au 1/4 de ton quasioctaviation entre 24e et 25e degrés    
17 17√19/12 = 1,0274... 46,79... 25,64... proche 4/17e de ton   Scala tuning script .scl  
18 18√19/12 = 1,0586... 44,1976675 27,15... assimilée au 2/9e de ton quasioctaviation entre 27e et 28e degrés    
19 19√19/12 = 1,02448... 41,87... 28,66... proche 4/19e de ton   Scala tuning script .scl  
20 20√19/12 = 1,02324... 39,77790075 30,17... assimilée au 1/5e de ton quasioctaviation entre 30e et 25e degrés    
21 21√27/17 = 1,02227 800/21 = 38,095... 1200/38,095... = 31,5 4/21e de ton   Scala tuning script .scl  
22 22√27/17 = 1,02125 800/22 = 36,36.. 1200/36,36.. = 33 2/11e de ton octaviation Z33    
23 23√27/17 = 1,02032 800/23 = 34,78... 1200/34,78... = 34,5 4/23e de ton   Scala tuning script .scl  
24 24√27/17 = 1,01946 800/24 = 33,33.. 1200/ = 36 1/6e de ton octaviation Z36    
25 25√27/17 = 1,01868 800/25 = 32 1200/32 = 37,5 4/25e de ton   Scala tuning script .scl  
26 26√27/17 = 1,01795 800/26 = 30,769... 1200/30,769... = 39 2/13e de ton octaviation Z39    
27 27√27/17 = 1,01728 800/27 = 29,62... 1200/29,62... = 40,5 4/27e de ton   Scala tuning script .scl  
28 28√27/17 = 1,01666 800/28 = 28,57... 1200/28,57... = 42 1/7e de ton octaviation Z42    
29 29√27/17 = 1,01608 800/29 = 27,58... 1200/27,58... = 43,5 4/29e de ton   Scala tuning script .scl  
30 30√27/17 = 1,01554 800/30 = 26,66.. 1200/26,66.. = 45 2/15e de ton octaviation Z45    
31 31√27/17 = 1,01504 800/31 = 25,806... 1200/25,806... = 46,5
4/31e de ton   Scala tuning script .scl  
32 32√27/17 = 1,01456 800/32 = 25 1200/25 = 48 1/8e de ton octaviation Z48    
33 33√27/17 = 1,01412 800/33 = 24,24.. 1200/24,24.. = 49,5 4/33e de ton   Scala tuning script .scl  
34 34√27/17 = 1,0137 800/34 = 23,53... 1200/23,53... = 51 2/17e de ton octaviation Z51    
35 35√27/17 = 1,01331 800/35 = 22,85... 1200/22,85... = 52,5 4/35e de ton   Scala tuning script .scl  
36 36√27/17 = 1,01293 800/36 = 22,22.. 1200/22,22.. = 54 1/9e de ton octaviation Z54    
37 37√27/17 = 1,01258 800/37 = 21,62... 1200/21,62... = 55,5 4/37e de ton   Scala tuning script .scl  
38 38√27/17 = 1,01225 800/38 = 21,05... 1200/21,05... = 57 2/19e de ton octaviation Z57    
39 39√27/17 = 1,01193 800/39 = 20,51... 1200/20,51... = 58,5 4/39e de ton   Scala tuning script .scl  
40 40√27/17 = 1,01163 800/40 = 20 1200/20 = 60 1/10e de ton octaviation Z60    
41 41√27/17 = 1,01135 800/41 = 19,51... 1200/19,51... = 61,5 4/41e de ton   Scala tuning script .scl  
42 42√27/17 = 1,01108 800/42 = 19,04... 1200/19,04... = 63 2/21e de ton octaviation Z63    
43 43√27/17 = 1,01082 800/43 = 18,604... 1200/18,604... = 64,5 4/43e de ton   Scala tuning script .scl  
44 44√27/17 = 1,01057 800/44 = 18,18.. 1200/18,18.. = 66 1/11e de ton octaviation Z66    
45 45√27/17 = 1,01033 800/45 = 17,77.. 1200/17,77.. = 67,5 4/45e de ton   Scala tuning script .scl  
46 46√27/17 = 1,01011 800/46 = 17,39... 1200/17,39... = 69 2/23e de ton octaviation Z69    
47 47√27/17 = 1,00989 800/47 = 17,02... 1200/17,02... = 70,5 4/47e de ton   Scala tuning script .scl  
48 48√27/17 = 1,00968 800/48 = 16,66.. 1200/16,66.. = 72 1/12e de ton octaviation Z72    
49 49√27/17 = 1,00949 800/49 = 16,32... 1200/16,32... = 73,5     Scala tuning script .scl  
50 50√27/17 = 1,0093 800/50 = 16 1200/16 = 75 2/25e de ton octaviation Z75    
51 51√27/17 = 1,00911 800/51 = 15,68... 1200/15,68... = 76,5     Scala tuning script .scl  
52 52√27/17 = 1,00894 800/52 = 15,38... 1200/15,38... = 78 1/13e de ton octaviation Z78    
53 53√27/17 = 1,00877 800/53 = 15,09434 1200/15,09434 = 79,5     Scala tuning script .scl  
54 54√27/17 = 1,0086 800/54 = 14,814... 1200/14,814... = 81 2/27e de ton octaviation Z81    
55 55√27/17 = 1,00845 800/55 = 14,54.. 1200/14,54.. = 82,5     Scala tuning script .scl  
56 56√27/17 = 1,0083 800/56 = 14,28... 1200/14,28... = 84 1/14e de ton octaviation Z84    
57 57√27/17 = 1,00815 800/57 = 14,03... 1200/14,03... = 85,5     Scala tuning script .scl  
58 58√27/17 = 1,00801 800/58 = 13,79... 1200/13,79... = 87 2/29e de ton octaviation Z87    
59 59√27/17 = 1,00787 800/59 = 13,56... 1200/13,56... = 88,5     Scala tuning script .scl  
60 60√27/17 = 1,00774 800/60 = 13,33.. 1200/13,33.. = 90 1/15e de ton octaviation Z90    
61 61√27/17 = 1,00761 800/61 = 13,11... 1200/13,11... = 91,5     Scala tuning script .scl  
62 62√27/17 = 1,00749 800/62 = 12,903... 1200/12,903... = 93 2/31e de ton octaviation Z93    
63 63√27/17 = 1,00737 800/63 = 12,69... 1200/12,69... = 94,5     Scala tuning script .scl  
64 64√27/17 = 1,00725 800/64 = 12,5 1200/12,5 = 96 1/16e de ton octaviation Z96    
... ... ... ... ... ... ...    

{27/17 = 1,5 882 353 sixte mineure septendecimale} & {(12√2)8 = 1,58 736 sixte mineure égalisée}

Des 62 divisions égales de la sixte mineure, de 3 à 64 stries, il y a pour 31 échelles octaviantes, 31 échelles nonoctaviantes (ou qui octavient au second octave).

 

Tables à imprimer :

Table des 62 divisions scalaires du cycle de la 6te mineure harmonique [A3].pdf
Table des 62 divisions scalaires du cycle de la 6te mineure égalisée [A3].pdf

Paquets d'échelles pour tout entendre :

dOwnlOad the 31 nonoctave scales dividing the equal 6th minor (.scl files zip 16Ko)
Télécharge ces 31 échelles nonoctaviantes issues de la 6te mineure égalisée

.

 

Cycle de la 6te Majeure
pythagorienne

 

Table des 70 divisions scalaires du cycle de la 6te majeure pythagorienne : 27/16 = 1,6875 (905,865 cents) sixte majeur pythagorienne

nombre x
de degrés dans le cycle
Rapports
n coupures de 1,6875
en cent

notes densité/ par octave

en ton remarques

échelles des divisions de la 6M égalisée téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute

échelles des divisions de la 6M pythagorienne téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute
4 4√27/16 = 1,13975 900/4 = 225 1200/225 = 5,33.. 9/8e de ton   Scala tuning script .scl  
5 5√27/16 = 1,11032 900/5 = 180 1200/180 = 6,66.. 9/10e de ton membre des 53    
6 6√27/16 = 1,09112 150,977 7,948... proche 3/4 de ton quasioctaviante à 8 degrés 8√2=1,09051    
7 7√27/16 = 1,07761 129,41...   9,273.. proche 9/14e de ton      
8 8√27/16 = 1,06759 900/8 = 112,5 1200/112,5 = 10,66.. 4/7e de ton membre des 53    
9 9√27/16 = 900/9 = 100 1200/100 = 12 1/2 de ton octaviante Z12    
10 10√27/16 = 1,05372 900/10 = 90 1200/90 = 13,33..     Scala tuning script .scl  
11 11√27/16 = 1,04872 900/11 = 81,81.. 1200/81,81.. = 14,66..     Scala tuning script .scl  
12* 12√27/16 = 900/12 = 75 1200/75 = 16 3/8e de ton octaviante Z16    
13 13√27/16 = 1,04107 900/13 = 69,23... 1200/69,23... = 17,33..     Scala tuning script .scl  
14 14√27/16 = 1,03808 900/14 = 64,28... 1200/64,28... = 18,66..     Scala tuning script .scl  
15 15√27/16 = 900/15 = 60 1200/60 = 20 3/10e de ton octaviante Z20    
16 16√27/16 = 1,03324 900/16 = 56,25 1200/56,25 = 21,33..     Scala tuning script .scl  
17 17√27/16 = 1,03126 900/17 = 52,94... 1200/52,94... = 22,66..     Scala tuning script .scl  
18 18√27/16 = 900/18 = 1200/ = 24 1/4 de ton octaviante Z24    
19 19√27/16 = 1,02792 900/19 = 47,36... 1200/47,36... = 25,33..     Scala tuning script .scl  
20 20√27/16 = 1,02651 900/20 = 45 1200/45 = 26,66..     Scala tuning script .scl  
21 21√27/16 = 900/21 = 1200/ = 28 3/14e de ton octaviante Z28    
22 22√27/16 = 1,02407 900/22 = 40,90.. 1200/40,90.. = 29,33..     Scala tuning script .scl  
23 23√27/16 = 1,02301 900/23 = 39,13... 1200/39,13... = 30,66..     Scala tuning script .scl  
24 24√27/16 = 900/24 = 1200/ = 32 3/16e de ton octaviante Z32    
25 25√27/16 = 1,02115 900/25 = 36 1200/36 = 33,33..     Scala tuning script .scl  
26 26√27/16 = 1,02033 900/26 = 34,61... 1200/34,61... = 34,66..     Scala tuning script .scl  
27 27√27/16 = 900/27 = 1200/ = 36 1/6e de ton octaviante Z36    
28 28√27/16 = 1,01886 900/28 = 32,14... 1200/32,14... = 37,33..     Scala tuning script .scl  
29 29√27/16 = 1,01821 900/29 = 31,03... 1200/31,03... = 38,66..     Scala tuning script .scl  
30 30√27/16 = 900/30 = 1200/ = 40 3/20e de ton octaviante Z40    
31 31√27/16 = 1,01702 900/31 = 29,03... 1200/29,03... = 41,33..
    Scala tuning script .scl  
32 32√27/16 = 1,01649 900/32 = 28,125 1200/28,125 = 42,66..     Scala tuning script .scl  
33 33√27/16 = 900/33 = 1200/ = 44 3/22e de ton octaviante Z44    
34 34√27/16 = 1,01551 900/34 = 26,47... 1200/26,47... = 45,33..     Scala tuning script .scl  
35 35√27/16 = 1,01506 900/35 = 25,71... 1200/25,71... = 46,66..     Scala tuning script .scl  
36 36√27/16 = 900/36 = 1200/ = 48 1/8e de ton octaviante Z48    
37 37√27/16 = 1,01424 900/37 = 24,324... 1200/24,324... = 49,33..     Scala tuning script .scl  
38 38√27/16 = 1,01386 900/38 = 23,68... 1200/23,68... = 50,66..     Scala tuning script .scl  
39 39√27/16 = 900/39 = 1200/ = 52 3/26e de ton octaviante Z52    
40 40√27/16 = 1,01317 900/40 = 22,5 1200/22,5 = 53,33..     Scala tuning script .scl  
41 41√27/16 = 1,01284 900/41 = 21,95... 1200/21,95... = 54,66..     Scala tuning script .scl  
42 42√27/16 = 900/42 = 1200/ = 56 3/28e de ton octaviante Z56    
43 43√27/16 = 1,01224 900/43 = 20,93... 1200/20,93... = 57,33..     Scala tuning script .scl  
44 44√27/16 = 1,01196 900/44 = 20,45... 1200/20,45... = 58,66..     Scala tuning script .scl  
45 45√27/16 = 900/45 = 1200/ = 60 1/10e de ton octaviante Z60    
46 46√27/16 = 1,01144 900/46 = 19,56... 1200/19,56... = 61,33..     Scala tuning script .scl  
47 47√27/16 = 1,0112 900/47 = 19,14... 1200/19,14... = 62,66..     Scala tuning script .scl  
48 48√27/16 = 900/48 = 1200/ = 64 3/32e de ton octaviante Z64    
49 49√27/16 = 1,01074 900/49 = 18,36... 1200/18,36... = 65,33..     Scala tuning script .scl  
50 50√27/16 = 1,01052 900/50 = 18 1200/18 = 66,66..     Scala tuning script .scl  
51 51√27/16 = 900/51 = 1200/ = 68 3/34e de ton octaviante Z68    
52 52√27/16 = 1,01011 900/52 = 17,31... 1200/17,31... = 69,33..     Scala tuning script .scl  
53 53√27/16 = 1,00992 900/53 = 16,98... 1200/16,98... = 70,66..     Scala tuning script .scl  
54 54√27/16 = 900/54 = 1200/ = 72 1/12e de ton octaviante Z72    
55 55√27/16 = 1,00956 900/55 = 16,36.. 1200/16,36.. = 73,33..     Scala tuning script .scl  
56 56√27/16 = 1,00939 900/56 = 16,07... 1200/16,07... = 74,66..     Scala tuning script .scl  
57 57√27/16 = 900/57 = 1200/ = 76 3/38e de ton octaviante Z76    
58 58√27/16 = 1,00906 900/58 = 15,51... 1200/15,51... = 77,33..     Scala tuning script .scl  
59 59√27/16 = 1,00891 900/59 = 15,25... 1200/15,25... = 78,66..     Scala tuning script .scl  
60 60√27/16 = 900/60 = 1200/ = 80 3/40e de ton octaviante Z80    
61 61√27/16 = 1,00861 900/61 = 14,75... 1200/14,75... = 81,33..     Scala tuning script .scl  
62 62√27/16 = 1,00848 900/62 = 14,51... 1200/14,51... = 82,66..     Scala tuning script .scl  
63 63√27/16 = 900/63 = 1200/ = 84 1/14e de ton octaviante Z84    
64 64√27/16 = 1,00821 900/64 = 14,0625 1200/14,0625 = 85,33..     Scala tuning script .scl  
65 65√27/16 = 1,00808 900/65 = 13,84... 1200/13,84... = 86,66..     Scala tuning script .scl  
66 66√27/16 = 900/66 = 1200/ =88 3/44e de ton octaviante Z88    
67 67√27/16 = 1,00784 900/67 = 13,43... 1200/13,43... = 89,33..     Scala tuning script .scl  
68 68√27/16 = 1,00772 900/68 = 13,23... 1200/13,23... = 90,66..     Scala tuning script .scl  
69 69√27/16 = 900/69 = 1200/ =92 3/46e de ton octaviante Z92    
70 70√27/16 = 1,0075 900/70 = 12,85... 1200/12,85... = 93,33..     Scala tuning script .scl  
71 71√27/16 = 1,0074 900/71 = 12,67... 1200/12,67... = 94,66..     Scala tuning script .scl  
72 72√27/16 = 900/72 = 1200/ = 96 1/16e de ton octaviation Z96    
73 73√27/16 = 1,00719 900/73 = 12,32... 1200/12,32... = 97,33..     Scala tuning script .scl  

...

{3/2 . 9/8 = 27/16 = 1,6875 sixte majeure pythagorienne} & {(12√2)9 = 1,68175 sixte majeure égalisée à 900 cents}

Des 70 divisions de la sixte majeure pythagorienne, de 4 à 73 stries, il y a 46+1 échelles nonoctaviantes pour 23 échelles octaviantes

 

Paquets d'échelles pour tout entendre :

dOwnlOad the 47 nonoctave scales dividing the equal 6th major (.scl files zip 26Ko)
Télé-charge 47 échelles nonoctaviantes divisant la 6te majeure égalisée (.scl dossier zippé 26Ko)

 

 

.

Cycle de la 7e mineure
pythagorienne

 

Table des 77 divisions scalaires du cycle de la 7e mineure pythagorienne : 59049/32768 = 1,8... (1019,55 cents) [1]
d'autres la nomment : sixte augmentée pythagoricienne alors qu'elle est + grande que notre 7m égalisée. Il existe aussi une 7e harmonique : 7/4 = 1,75 (968,826... cents) + petite que notre 7m égalisée = 1,78175) [2]

nombre x
de degrés dans le cycle
Rapports
n coupures de
en cent
1019.55/x=y
nombre de notes
densité/ par octave
en ton [approx] remarques téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute
4 4√59049/32768 = 1,15862 254,8875 4,708... proche 5/4 de ton    
5 5√59049/32768 = 1,125 203,91... 5,885... quasiton 6√2=1,12246
6 6√59049/32768 = 1,10313 1000/6 = 166,66..        
7 7√59049/32768 = 1,08777 145,65... 8,2389...      
8 8√59049/32768 = 1,07639 1000/8 = 125   proche 5/8e de ton    
9 9√59049/32768 = 1,06762 1000/9 = 111,11..        
10 10√59049/32768 = 1,06066 101,95 11,77... proche 1/2 ton 12√2=1,05946
11 11√59049/32768 = 1,055 1000/11 = 90,90..        
12* 12√59049/32768 = 1,0503 84,9625... 14,12...   14√2=1,05076  
13 13√59049/32768 = 1,04634 1000/13 = 76,92...        
14 14√59049/32768 = 1,04296 1000/14 = 71,42...        
15 15√59049/32768 = 1,04004 1000/15 = 66,66.. 18 1/3 de ton 1,03926 OCT
16 16√59049/32768 = 1,03749 1000/16 = 62,5        
17 17√59049/32768 = 1,03525 1000/17 = 58,82        
18 18√59049/32768 = 1,03326 1000/18 = 55,55..        
19 19√59049/32768 = 1,03148 1000/19 = 52,63...        
20 20√59049/32768 = 1,02988 1000/20 = 50 24 1/4 de ton 1,0293 OCT
21 21√59049/32768 = 1,02844 1000/21 = 47,62....        
22 22√59049/32768 = 1,02713 1000/22 = 45,45..        
23 23√59049/32768 = 1,02594 1000/23 = 43,47...        
24 24√59049/32768 = 1,02484 1000/24 = 41,66..        
25 25√59049/32768 = 1,02384 1000/25 = 40 30 1/5e de ton 1,02337 OCT
26 26√59049/32768 = 1,02291 1000/26 = 38,46...        
27 27√59049/32768 = 1,2205 1000/27 = 37,03...        
28 28√59049/32768 = 1,02126 1000/28 = 35,71...        
29 29√59049/32768 = 1,02052 1000/29 = 34,48...        
30 30√59049/32768 = 1,01982 1000/30 = 33,33.. 36 1/6e de ton 1,01944 OCT
31 31√59049/32768 = 1,01918 1000/31 = 32,25...        
32 32√59049/32768 = 1,01857 1000/32 = 31,25        
33 33√59049/32768 = 1,01801 1000/33 = 30,30..        
34 34√59049/32768 = 1,01747 1000/34 = 29,41...        
35 35√59049/32768 = 1,01697 1000/35 = 28,57... 42 1/7e de ton 1,01664 OCT
36 36√59049/32768 = 1,01649 1000/36 = 27,77..        
37 37√59049/32768 = 1,01604 1000/37 = 27,027..        
38 38√59049/32768 = 1,01562 1000/38 = 26,31...        
39 39√59049/32768 = 1,01521 1000/39 = 25,64...        
40 40√59049/32768 = 1,01483 1000/40 = 25 48 1/8e de ton 1,01455 OCT
41 41√59049/32768 = 1000/41 = 24,39...        
42 42√59049/32768 = 1000/42 = 23,81...        
43 43√59049/32768 = 1000/43 = 23,25...        
44 44√59049/32768 = 1000/44 = 22,72..        
45 45√59049/32768 = 1000/45 = 22,22.. 54 1/9e de ton 1,01292 OCT
46 46√59049/32768 = 1000/46 = 21,74...        
47 47√59049/32768 = 1000/47 = 21,27...        
48 48√59049/32768 = 1000/48 = 20,83.        
49 49√59049/32768 = 1000/49 = 20,41...        
50 50√59049/32768 = 1000/50 = 20 60 1/10e de ton 1,01162 OCT
51 51√59049/32768 = 1000/51 =        
52 52√59049/32768 = 1000/52 =        
53 53√59049/32768 = 1000/53 =        
54 54√59049/32768 = 1000/54 =        
55 55√59049/32768 = 1000/55 = 18,18.. 66 1/11e de ton 1,01056 OCT
56 56√59049/32768 = 1000/56 =        
57 57√59049/32768 = 1000/57 =        
58 58√59049/32768 = 1000/58 =        
59 59√59049/32768 = 1000/59 =        
60 60√59049/32768 = 1,00986 1000/60 = 16,66.. 72 1/12e de ton 1,00967 OCT
61 61√59049/32768 = 1000/61 =        
62 62√59049/32768 = 1000/62 =        
63 63√59049/32768 = 1000/63 =        
64 64√59049/32768 = 1000/64 =        
65 65√59049/32768 = 1,0091 1000/65 = 15,38... 78 1/13e de ton 1,00967 OCT
66 66√59049/32768 = 1000/66 =        
67 67√59049/32768 = 1000/67 =        
68 68√59049/32768 = 1000/68 =        
69 69√59049/32768 = 1000/69 =        
70 70√59049/32768 = 1,00845 1000/70 = 14,28... 84 1/14e de ton 1,00829 OCT
71 71√59049/32768 = 1000/71 =        
72 72√59049/32768 = 1000/72 =        
73 73√59049/32768 = 1000/73 =        
74 74√59049/32768 = 1000/74 =        
75 75√59049/32768 = 1,00788 1000/75 = 13,33.. 90 1/15e de ton 1,00773 OCT
76 76√59049/32768 = 1000/76 =        
77 77√59049/32768 = 1000/77 = 12,98...        
78 78√59049/32768 = 1000/78 = 12,82...        
79 79√59049/32768 = 1000/79 =        
80 80√59049/32768 = 1,00739 1000/80 = 12,5 96 1/16e de ton 1,00725 OCT

Les échelles assimilées pour ce qu'elles ne sont pas. C'est le problème du manque de distinction dans notre perception. L'assimilarisation se produit quand les différences sont indistinguées. La démonstration avec le ton harmonique 1,125 : 110Hz ; 123,75Hz ; 139,21Hz ; 156,62Hz ; 176,19Hz ; 198,22Hz ; 223Hz. L'octave n'est pas à 223Hz mais à 220Hz. L'assimilarisation s'opère, car personne ne fait la distinction entre 220Hz et 223Hz.

Sur 77 échelles divisant la 7m, 15 sont octaviantes et 62 sont nonoctaviantes.

...

 

 

Cycle de la 7e Majeure
sans nom

 

Table des 88 divisions divisions scalaires du cycle de la 7e M, mais laquelle ? Quelle 7e M ? Sur les 4 principales existantes ? La 7e M de Zarlino : 15/8 = 1,875, la 7e M égalisée (12√2)^11 = 1,88769, la 7e M de Pythagore 243/128 = 1,8984375, ou la 7e M sans nom : 23/12 = 1,9166.. (1126,32... cents) [3]

Table des 88 divisions divisions scalaires du cycle de la 7e M sans nom : 23/12 = 1,9166.. (1126,32... cents)

[91 divisions - 3 = 88]

nombre x
de degrés dans le cycle
Rapports n coupures de en cent
1126,32/x=y
nombre de notes
densité/par octave
1200/y=z
en ton
[approximation]
remarques téléchargements pour
accorder son instrument
et son écoute
4 4√23/12 = 1,17662 281,58... 4,261...      
5 5√23/12 = 1,13896 225,264... 5,327...      
6 6√23/12 =          
7 7√23/12 = 1,0974 160,9... 7,458...      
8 8√23/12 =          
9 9√23/12 =          
10 10√23/12 =          
11 11√23/12 = 1,06093 102,392... 11,72...      
12* 12√23/12 =          
13 13√23/12 = 1,05132 86,64 13,85...      
14 14√23/12 =          
15 15√23/12 =          
16 16√23/12 =          
17 17√23/12 = 1,03901 66,254... 18,112...   18√2=1,03926  
18 18√23/12 =          
19 19√23/12 = 1,03483 59,28 20,243...      
20 20√23/12          
21 21√23/12          
22 22√23/12          
23 23√23/12 = 1,02869 48,97... 24,5...      
24 24√23/12          
25 25√23/12          
26 26√23/12          
27 27√23/12          
28 28√23/12          
29 29√23/12 = 1,02269 38,838... 30,897...      
30 30√23/12          
31 31√23/12 = 1,02121 36,33... 33,03...   33√2=1,02123
prochoctaviante
 
32 32√23/12          
33 33√23/12          
34 34√23/12          
35 35√23/12          
36 36√23/12          
37 37√23/12 = 1,01774 30,441... 39,42...      
38 38√23/12          
39 39√23/12          
40 40√23/12          
41 41√23/12 = 1,01599 27,4712... 43,682...      
42 42√23/12          
43 43√23/12 = 1,01524 26,193... 45,813...      
44 44√23/12          
45 45√23/12          
46 46√23/12          
47 47√23/12 = 1,01394 23,96... 50,08...   50√2=1,01396 prochoctaviante  
48 48√23/12          
49 49√23/12          
50 50√23/12          
51 51√23/12          
52 52√23/12          
53 53√23/12 = 1,01235 21,25... 56,47...      
54 54√23/12          
55 55√23/12          
56 56√23/12          
57 57√23/12          
58 58√23/12          
59 59√23/12 = 1,01109 19,09 62,86...      
60 60√23/12          
61 61√23/12 = 1,01072 18,464... 64,991...   65√2=1,01072 OCTAVIANTE  
62 62√23/12          
63 63√23/12          
64 64√23/12          
65 65√23/12          
66 66√23/12          
67 67√23/12 = 1,00976 16,811... 71,382...      
68 68√23/12          
69 69√23/12          
70 70√23/12          
71 71√23/12 = 1,00921 15,863... 75,6477...      
72 72√23/12          
73 73√23/12 = 1,00895 15,429... 77,775      
74 74√23/12          
75 75√23/12          
76 76√23/12          
77 77√23/12          
78 78√23/12          
79 79√23/12 = 1,00827 14,257... 84,169...      
80 80√23/12          
81 81√23/12          
82 82√23/12          
83 83√23/12 = 1,00787 13,57... 88,43...      
84 84√23/12          
85 85√23/12          
86 86√23/12          
87 87√23/12          
88 88√23/12          
89 89√23/12 = 1,00734 12,655... 94,824...      
90 90√23/12          
91 91√23/12 = 1,00717 12,377... 96,954...      

 

- Pour quoi s'intéresser aux nombres premiers pour la division scalaire ?

- Parce que les rapports ne sont pas redondants (sauf quand l'un dans l'autre se retrouve à l'octaviation) et, dans le champ scalaire des nombres premiers, on suppose qu'il y a + d'intervalles inconnus que connus. La 1ère échelle nonoctaviante, celle utilisée pour Ourdission en 1982, est première, elle divise l'ambitus de la flûte traversière par 41, d'où son nom : Ourdission 41. Une échelle à division 1ère non seulement est asymétrique, mais en + ne retrouve pas ses doubles ailleurs, toutes les hauteurs même résultantes de rapports égalisés (par la division de sa division : l'opération racine) sont supposés uniques.

 

* remarquons qu'avec une division par 12, les différents cycles : 4te, 5te, 6te m et M, 7e m et M, prennent la place de l'octave sur le clavier piano.

...

 

 

Cycle 8ve+2de m

[104 divisions - 5 = 99]

...

 

 

Cycle 8ve+2de M

...

 

 

Les différentes sonorités des échelles prendront du sens quand elles seront embarquées sur ton instrument :

 

Paquets d'échelles pour tout entendre :

Télé-charge les 154 échelles nonoctaviantes striant la 4te, la 5te, les 6te mineure et majeure égalisées
Download 154 nonoctave scales scaling the equal 4th the 5th the 6th minor & major
(.scl files zip 73Ko)

 

 

Pour une division équidistante d'un intervalle-ambitus-cycle apparenté à la tradition diatonique et chromatique, il existe + d'échelles nonoctaviantes que d'échelles octaviantes :

Il n'y a plus de doute : l'octaviation est une exception de la nonoctaviation :

le nombre des échelles octaviantes est quasi fini dans la limite du champ audible : de 5 à 96 = 92 échelles
le nombre des échelles nonoctaviantes est infini dans la limite du champ audible.

 

Dans le champ scalaire des intervalles protohistoriques égalisés :

div 4te : 30 échelles nonoctaviantes pour 8 échelles octaviantes : 1/2 ton, 1/4 de ton, 1/6e de ton, 1/8e de ton, 1/10e de ton, 1/12e de ton, 1/14e de ton, 1/16e de ton.
div 5te : 46 échelles nonoctaviantes pour 8 échelles octaviantes 1/2 ton, 1/4 de ton, 1/6e de ton, 1/8e de ton, 1/10e de ton, 1/12e de ton, 1/14e de ton, 1/16e de ton : LES MÊMES
div 6te m : 31 échelles nonoctaviantes pour 31 échelles octaviantes 1 ton, 2/3 de ton, 1/2 ton, 2/5e de ton, 1/3 de ton, 2/7e de ton, 1/4 de ton, 2/9e de ton, 1/5e de ton, 2/11e de ton, 1/6e de ton, 2/13e de ton, 1/7e de ton, 2/15e de ton, 1/8e de ton, 2/17 de ton, 1/9e de ton, 2/19e de ton, 1/10e de ton, 2/21e de ton, 1/11e de ton, 2/23e de ton, 1/12e de ton, 2/25e de ton, 1/13e de ton, 2/27e de ton, 1/14e de ton, 2/29e de ton, 1/15e de ton, 2/31e de ton, 1/16e de ton : dont 15 intervalles octaviants nouveaux.
div 6te M : 47 échelles nonoctaviantes pour 23 échelles octaviantes 3/4 de ton, 1/2 de ton; 3/8e de ton, 3/10e de ton, 1/4 de ton, 3/14e de ton, 3/16e de ton, 1/6e de ton, 3/20e de ton, 3/22e de ton, 1/8e de ton, 3/26e de ton, 3/28e de ton, 1/10e de ton, 3/32e de ton, 3/34e de ton, 1/12e de ton, 3/38e de ton, 3/40e de ton, 1/14e de ton, 3/44e de ton, 3/46e de ton, 1/16e de ton : dont 14 intervalles octaviants nouveaux.
div 7m : 62 échelles nonoctaviantes pour 15 échelles octaviantes ton, 1/2 ton, 1/3 de ton, 1/4 de ton, 1/5e de ton, 1/6e de ton, 1/7e de ton, 1/8e de ton, 1/9e de ton, 1/10e de ton, 1/11e de ton, 1/12e de ton, 1/13e de ton, 1/14e de ton, 1/15e de ton, 1/16e de ton : LES MÊMES
  = 216 = 29  

...

 

 

Notes

[1] La plaisanterie est que Pythagore n'est pas musicien (comme presque tous les théoriciens de la musique jusqu'à Bach. Le dernier, le mathématicien Euler pestait contre le système de Bach qui ouvra la possibilité à la transposition ! Aristoxène de Tarente n'a produit aucun calcul, parce que disait-il : « les notes des échelles ne devraient pas être jugées par des rapports mathématiques, mais par l’écoute ». Aujourd'hui, avec nos instruments de musique numériques, nous devons rentrer un calcul pour entendre l'échelle désirée.

[2] Il y a beaucoup de septièmes mineures différentes et dans l'histoire, chacun a voulu poser la sienne, à commencer par... Pythagore, dont ses disciples lui ont attribué ce qui lui a été transmis. La/les 7a qui a sens ici, est une dont son origine date avant le tempérament de la gamme, créé par Bach et généralisé à partir du XVIIIe siècle [remarque : les modes majeur et mineurs aujourd'hui ne sont plus tempérés comme au XVIIIe siècle, dans le compromis entre l'égalisation et l'harmonique, aujourd'hui l'échelle de 12 1/2 tons est égalisée, sur tous les instruments numériques et, sont faux par rapport aux nombres entiers de la série harmonique : le problème de « la fausseté » réside dans l'esprit discriminatoire et hiérarchique posant ce qui est perçu comme « échelle du mérite » (sic) morale. La considération morale coercitive demeure le + grand barrage au savoir.]

[3] Il existe aussi une 7e neutre (!) : 11/6 = 1,833.. (1049,36... cents) ou : 21 1/4 de ton.

 

 

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