échelles :

des suites en séries infinies pour les hôtes

1984 (1ere publication université Paris VIII, 1987)

repères soniques dans le champ vibratoire

3.1.1. Une échelle ? une suite du même intervalle.
une suite chiffrées d'intervalles similaires (ses clones) car équidistants, définissant des bornes, horaires, hauteurs, degrés, notes, etc.
3.1.1. Une échelle est une fréquence de fréquences : une suite de vitesses de la + lente à la + rapide audible en sons continus.
3.1.1. Une échelle (d'une dimension) a la fonction spatio-temorelle de repérer :
l'échelle donne à localiser le vibratoire "sauvage" (non dressé, non éduqué, libre, incompris, incompréhensible, inconcevable, incommensurable, etc.).

3.1.2. L'échelle est illimitée, elle couvre, déborde et dépasse, sans commencement ni fin notre (idée de la) perception (notre idée de ce qui est percevable). Elle régule et sonne son intervalle par les instruments de musique.

3.1.3. Il y a une infinité d'échelles.

3.1.4. La formule : i = ^y√x = x^1/y (avec i, x, y éléments de l'ensemble des nombres réels R) définit l'échelle et son équidistance où x est l'intervalle, l'ambitus, la tessiture, l'étendue divisé, strié, coupé et y le nombre de divisions, de stries, de coupures. i est le rapport qui définit l'intervalle algorithmique (qui multiplie et divise la fréquence, la longueur, la position de la frette, du trou, etc., pour obtenir la fréquence, la longueur, la position du trou, de la frette, etc., suivante).

3.1.5. Il y a différents types d'échelles ou : l'ensemble infini des échelles infinies possède un nombre fini de sous-ensembles au nombre d'échelles infinies.

3.1.6. 3 types d'échelles :

1. Cycliques
2. Acycliques
3. Quasicycliques

3.1.7. Définition des 3 types

1a. Cyclique octaviante. Division de l'intervalle d'octave 2 en n parties égales (au moins 5 : y ≥ 5) où chaque hauteur retrouve son octave de la forme ^y√2, avec y élément des entiers naturels N. Si y est élément de R, il y a désoctaviation. Forme circulaire, orbitale.

1b. Cyclique. Echelle divisant en n parties égales un intervalle se répétant au moins 2 fois dans le champ audible des hauteurs du contexte instrumental où chaque hauteur retrouve son même rapport dans le cycle suivant de la forme ^y√x avec y élément de N et x élément de R. Forme circulaire, orbitale.

2. Acyclique. Echelle ne répétant pas un cycle, car l'étendue de son intervalle divisé x est supérieure ou égale au champ audible du contexte instrumental. Forme rectiligne courbe. x est grand dans les repères de 8 (3 octaves) à 128 (7 octaves) à 1024 (10 octaves)*. Pour maintenir la nonocyclicité, c'est-à-dire pour qu'aucune hauteur ne retrouve son même rapport dans une sous-division, y doit être premier. Si y est pair ou impair, l'échelle perd sa noncyclicité.

* remarque
L'8ve reste un repère connu pour se représenter une étendue audible.

3. Quasicyclique. Echelle répétant un cycle entre au + 2 fois au - une fois. Le quasicycle n'est ni un cycle ni un noncycle.

3.1.8. Dans la formule ^y√x, si y n'est pas entier (élément des entiers naturels N), ça, annule le cycle x divisé, strié.

exemple simple : si ^1,5√2 = 1,5874 (8ve div 5te) le cycle n'est pas 2 mais 4 (2x8ve) : ³√4.

3.1.9. Une échelle acyclique ou quasicyclique peut devenir cyclique par assimilation (l'imperception de différence).

exemple : l'échelle noncyclique Ourdission 41 qui divise la tessiture de la flûte (3x8ve) par le nombre premier 41 : ⁴¹√8 = 1,05203 peut être assimilée par l'échelle cyclique ⁸√1,5 = 1,05199.

3.1.0.1. 2 formes d'échelles :

1. symétrique
2. asymétrique

3.1.0.2. définitions des 2 formes d'échelles

Une échelle symétrique divise l'intervalle dividende par une racine (diviseur à la puissance) paire. Une échelle symétrique reconnaît : un degré centre de symétrie dans sa division dont la moitié est (le miroir non inverse) la réplique exacte de l'autre. La moitié binaire de l'échelle striée se confond avec l'autre moitié.

Une échelle asymétrique divise l'intervalle dividende par une racine (diviseur à la puissance) impaire ou première. Une échelle asymétrique n'a pas de degré centre qui divise l'échelle en 2 dont l'une moitié ne peut pas se confondre avec l'autre.

3.1.0.3. Récapitulation des formes scalaires

	cyclique	acyclique	quasicyclique
symétrique	échelle cyclique symétrique	échelle acyclique symétrique	échelle quasicyclique symétrique
asymétrique	échelle cyclique asymétrique	échelle acyclique asymétrique	échelle quasicyclique asymétrique

6 formes scalaires pour des suites équidistantes d'intervalles : qui l'eut cru ?

 

3.1.1.0. Construire les échelles

Construire une échelle inouïe procure la même sensation que d'ouvrir la porte et de s'introduire dans un lieu interdit.
Interdit ("pour votre sécurité" sic) parce qu'il est inconnu (car c'est une sortie vers une liberté possible pour reavoir le choix).

méthode :

1. choisir un nombre réel x > 1 à diviser un intervalle : une tessiture instrumentale et/ou orchestrale ou une partie de tessiture instrumentale et/ou orchestrale
2. choisir un nombre entier y > 5 de divisions (paires, impaires, premières)
3. choisir la fréquence (pivot) origine à partir de laquelle démarre l'échelle
    en fonction du diapason accordé au la3 440Hz ou pas : voire + ou - 414Hz à 467Hz ou 392Hz à 493Hz etc.
4. multiplier la fréquence origine-pivot
par : ^y√x ; (^y√x)² ; (^y√x)³ ; (^y√x)⁴ ; (^y√x)⁵ ; (^y√x)⁶ ; (^y√x)⁷ ; etc. pour les fréquences « supérieures » vers l'aigu
par : (^y√x)^-1 ; (^y√x)^-2 ; (^y√x)^-3 ; (^y√x)^-4 ; (^y√x)^-5 ; (^y√x)^-6 ; (^y√x)^-7 ; etc. pour les fréquences « inférieures » vers le grave

Ainsi s'obtient une échelle inouïe.

 

3.111.0. Limites du champ vibratoire perçu audible : de l'infiniment vaste à l'infiniment serré

Dépend du conditionnement, du contexte historico-géographique, de la culture et de la forme physiologique du processus de l'audition de chacun.

Mais le champ audible est délimité par les physiciens théoriquement entre 20Hz et 20kHz qui dans la réalité acoustique est plus proche d'entre 30Hz et 16kHz. 20kHz/20Hz = 1000. 16kHz/30Hz = 533,33.. . 12kHz/30Hz = 400 reste suffisant. Il est bien sûr possible de construire des échelles avec des intervalles plus grands que le champ audible théorique, en particulier pour les échelles noncycliques.

Dans l'autre sens de l'infiniment serré, le savart (francophone) qui est de 25 pour 1/2 ton tempéré et 300 pour une octave. Le cent (anglophone) qui est de 100 cents pour 1/2 ton tempéré et 1200 pour une octave, restent indifférenciables pour la plupart des auditeurs : entre 1 et 2 savarts et entre 1 et 2 cents. Julian Carillo est allé jusqu'à 1/16e de ton ou 96 divisions pour une octave ou 3,125 savarts ou 12,5 cents. Il est bien sûr possible de construire des échelles génératrices d'autres échelles et modes avec des divisions indistinguables trop petites pour en sortir des multiples plus grandes.

Aussi en allant au-delà de ces micro-intervalles, l'échelle peut être produite pour le jeu des battements là où pour distinguer la différence il faut user de la modulation d'amplitude pour jouer des battements et enterre en même temps la dispute consonant/dissonant (beau/pas beau). Voici une proposition prête à jouer pour sampler kontakt 2 : un sinus accordé au diapason 440 Hz sur l'échelle d'1/17e de ton ou 102 divisions pour une octave ou 2,941... savarts ou 11,764... cents .nkm 13Ko.

3.111.1 La distinction perceptive des grands intervalles est proportionnelle à leurs grandeurs. Plus l'intervalle est grand, plus l'intervalle de distinction entre 2 intervalles est grand : la marge de tolérance s'élargit. Et vice versa. Cette marge de distinction ou d'assimilation dépend de chacun de nous : degré de concentration, conditionnement, physiologie, contexte, etc.

 

3.1.1.1.2. Correspondances d'échelles

I. correspondance par fréquence fixe ou stable

La correspondance permet de passer d'une échelle à l'autre par un degré commun (une fréquence commune stable à plusieurs échelles différentes).
[Si l'intervalle est commun entre plusieurs échelles, signifie que toutes les échelles différentes sont en fait similaires...]

a. Cette correspondance d'échelles commence par le « diapason » :

Si les échelles (de différents instruments) sont accordées au même diapason, le diapason est alors un degré de correspondance d'une échelle à l'autre si les échelles n'ont aucun élément commun.

b. Et se poursuit avec le « degré de référence » (ou fréquence de référence ou note étalon ou hauteur pivot) : la fréquence à partir de laquelle se construit l'échelle.

Si les échelles sont construites à partir d'un même degré de référence, le degré de référence est un degré de correspondance d'une échelle à l'autre, si les échelles n'ont aucun autre élément commun.
[Notons que superposer plusieurs échelles construites à partir de la même fréquence pivot permet le déphasage d'échelles.]

Les 2 correspondances suivantes s'opèrent par les degrés communs à différentes échelles :

1. correspondances directes : quand au moins 1 degré d'une échelle A est similaire à au moins 1 degré d'une échelle B

Pour localiser les degrés communs dans différentes échelles, nous utilisons la « théorie des ensembles » avec l'opération intersection.

2. correspondances multiples : quand au moins 1 degré d'une échelle A est multiple à au moins 1 degré d'une échelle B

Les degrés multiples en musique dépendent plus de l'audition que du calcul. Le calcul peut seulement confirmer une fréquence multiple.
a. correspondance dans le cas d'une division similaire d'un cycle, d'un noncycle, d'un semicycle différent
b. correspondance dans le cas d'une division différente d'un cycle, d'un noncycle, d'un semicycle similaire
c. correspondance dans le cas d'une division différente d'un cycle, d'un noncycle, d'un semicycle différent

II. correspondances par fréquence mobile ou instable

Le glissement permet d'aller où on veut et ne s'évalue qu'à l'écoute.

III. correspondance par sauts

Cette correspondance ne tient pas compte d'opérations de rapprochements, c'est un déplacement par audace.

LIMITE franchie

 

Une échelle qui perd son intervalle unique perd-elle son statut d'échelle ?
Deviennent-elles des modes, ces échelles ?

Tous les grands artistes se plaignent de persécution et d'isolation ; ce, à toutes les époques de notre civilisation sans distinction. Mais ce n'est pas de ça dont je veux parler, mais du sens du mot ÉCHELLE pour la musique.

 

ÉCHELLES, RÉGULARITÉ et IRRÉGULARITÉ

En soulevant (sous le vent ?) le tapis, on a découvert qu'il existe une quantité invraisemblable d'échelles (de gammes sonnantes qui sonnent les différences d'un même son). Et non une seule unique régnante (variée en milliers), depuis disons, Boèce au VIe siècle, instaurée par Ptolémée au IIe (= accepté par tous les autres jusqu'aujourd'hui), à partir du mode diatonique (seul retenu des 3 genres de modes : diatonique, chromatique et enharmonique (pour le dernier) de la Grèce Antique ~ 500 av. J.-C.).

Pour réduire la confusion qui règne dans le monde de la théorie musicale, il est nécessaire de s'accorder sur un sens commun. Pourquoi ? Sans ça, notre état d'esprit ne peut pas évoluer, notre intelligence reste maltraitée, pour ne pas comprendre et jouir du monde dans lequel nous vivons toutes et tous ensemble. Sans ça, on ne sort pas de la confusion qui nous fait tourner en rond depuis 2 mille ans.

La pro-position pour se repérer et se retrouver dans la jungle des cortèges scalaires, tous ces possibles sonnant autrement, qui par degrés localisent et accordent différentes vitesses sonnantes (mesurées en nombre d'impulsions par seconde) à rendre univoques différentes voix à différents endroits ensemble dans la même émission en temps non différée (= en accords, d'où harmonie = poser ensemble = con-poser) et qui se différencient par leur identité sonore unique pour chacune d'elle et étant la matrice (la génitrice) des modes, il faut considérer que les échelles (constituées d'un seul intervalle qui se répète sur toute son étendue) peuvent être dé-formées, re-formées, etc., suivant les forces impliquées dans un champ.

Qu'est-ce qu'une échelle ?

On entend, on comprend par échelle : une unité de mesure sonnante.

Une unité de mesure 1 intervalle. L'échelle a la double fonction de faire sonner les instruments de musique et celle de localiser par l'équidistance les vitesses = fréquences = hauteurs => symbolisées par des points = notes, sur une portée = une surface coordonnée avec abscisse *(coordonnées horizontales utilisées pour déterminer la position de points fixes et aujourd'hui mobiles) et « ordonnée » (coordonnées verticales utilisées pour déterminer la position de points fixes et aujourd'hui mobiles**). L'usage millénaire méditerranéen et occidental veut que l'abscisse localise le rythme et l'ordonnée localise les hauteurs.

Depuis la (re ?) découverte des échelles nonoctaviantes (celles qui évitent le doublement nommé octave {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; etc.}, par la régularité de leurs pas = degrés = son intervalle unique répété : pas celles qui dans l'octave l'évitent), on découvre un monde fabuleux de richesses ignorées : des multiplicités.

Qu'est-ce qu'un mode ?

Le sens du mot change tellement comme LA mode change. Mais l'idée pour être compréhensible est simple (dans le monde de la musique) : un mode est construit avec au moins de 2 intervalles différents (qu'ils soient multiples ou pas ***). À partir de là, ce qui est important, on peut commencer à construire la théorie. Sans ça, c'est impossible : car celles et ceux qui entretiennent la confusion, entretiennent l'ignorance (nécessaire à la domination) à empêcher toute construction, toute composition. Ça y est, c'est dit, on n'y revient plus. Donc pour les esprits perdus (qui confondent pour détruire), ici, nous savons où nous sommes pour construire pour comprendre. Et, un mode (pour sa localisation : d'où il vient) à besoin d'une échelle (c'est ce que proposait Iannis Xenakis avec sa théorie des cribles). L'échelle est le repère et la génitrice du mode.

 

Bien sûr, il existe des interstices (les frontières de la distinction pour l'identification sont poreuses) :

 

Qu'y a-t-il entre les échelles et les modes ?

Eh bien, il y a des échelles logarithmiques, exponentielles, dont l'une a ses intervalles qui se réduisent régulièrement dans la progression et les autres s'agrandissent. L'échelle de ma guitare électrique est exponentielle nonoctaviante. La série harmonique est une échelle logarithmique (+ on « monte », + ses intervalles rétrécissent).

 

Une échelle se considère par sa RÉGULARITÉ.
La pro-position de différenciation échelle/mode pour débroussailler l'abondance ne se contredit pas avec :

échelle => régularité et
mode => irrégularité.

Ce qui signifie que pour être une échelle, ce sont TOUS ses degrés EN MÊME TEMPS qui sont : altérés (= rendus autre) ou désaltérés (= redevenu soi) : modifiables.

Et pour le mode, ce sont ses degrés (pas forcément tous) qui INDIVIDUELLEMENT sont : altérés (= rendus autre) ou désaltérés (= redevenu soi) : modifiables.
Un mode se considère par son IRRÉGULARITÉ.

 

LES CONSÉQUENCES INSTRUMENTALES DE L'ADOPTION POLYSCALAIRE

Le champ présuppose la transformation (les métamorphoses) et dynamise ce qui est fixé (le domaine lui a déjà tout ordonné). L'échelle ou les échelles se mettent à bouger dans l'instrument de musique. Ou, comme une sorte d'accordage perpétuel à différentes vitesses passant d'une échelle identifiée et voulue à une autre voulue (ou pas ? pourquoi pas !). Le fait est que l'échelle s'est démarrée de son amarre qui la fixait comme la seule unité de mesure sonnante. Nous découvrons le voile sur la multiplicité cachée de toutes les autres, et, en + les transformations qu'elles opèrent entre elles. Les prochains instruments de musique qui pourront rendre cet état de fait seront les prochains instruments de musique de nos sociétés des générations sensibles, généreuses et intelligentes (on leur souhaite) : dommage que je ne serais plus là pour voir, entendre et jouer ça.

LES CONSÉQUENCES SOCIALES DE L'ADOPTION POLYSCALAIRE

Passer d'1 l'élu à : toutes et tous élus = aucun élu, change la vision du monde. D'un père unique qui soumet (exige l'obéissance) et punit (les désobéissant = celles et ceux qui font autre chose) imposant des règles (que lui ne suit pas), qui est le principe de base de l'enseignement scolaire (pas scalaire) et de la vie sociale occidentale (et en général des grandes civilisations autoritaires = armées prêtes à l'invasion et l'absorption des autres pacifiques) ; on passe à autre chose. Être des êtres indépendants sachant, à vivre ensemble en respectant, et surtout appréciant à se réjouir des différences des autres. Mais, au XXIe siècle (c'est-à-dire après + de 2 mille ans de civilisation), on en est encore à se méprendre.

Notes
* du latin « abscissa » <=> « linea » = ligne avec l'idée : coupée. Boulez disait : striée, d'autres : tranchée, d'autres : bornée, etc., pour la même chose.
Et au-delà, il y a la représentation du réseau, un réseau est une portée (musicale) avec des liens qui se font et se défont.
** le GPS
*** notre mode « majeur » est construit de 2 intervalles multiples : 1/12e et 2/12e d'octave : do 2/12e ré 2/12e mi 1/12e fa 2/12e sol 2/12e la 2/12e si 1/12e do (l'appellation indique la « note », la fraction l'intervalle).

Comment perdre son identité scalaire unique ? pour différentes identités ?

1. par union, mélange, fusion de 2, 3, 4, etc., en une = échelles déphasées
2. par composition = poser ensemble de 2, 3, 4, etc., en une = échelles composées => l'harmonie des champs scalaires = les accords d'échelles
3. par extension et compression d'une échelle = échelles convexes et concaves fixes (fixées à un seul diapason)
4. par toute sorte de mouvements qui malmènent l'échelle devenant turbulente = échelle élastique (lâchée par le diapason)

3.1.1.1.3. Déphasage d'échelles

Le déphasage d'échelles suppose le jeu simultané de plusieurs échelles.

Un déphasage d'échelles se réalise quand plusieurs échelles, jouées en même temps, démarrent et sont construite à partir et sur la même fréquence de référence (ou hauteur pivot ou origine). Avec 2 intervalles proches, on entend l'éloignement progressif l'une de l'autre puis du rapprochement jusqu'à la coïncidence absolue (par similarité des mêmes ou indistinction sans phénomène supplémentaire) ou relative (fréquences très proches mais non similaires qui s'évaluent aux battements : à la modulation d'amplitude) de 2 fréquences ou +.

Un déphasage d'échelles est le jeu simultané la réunion en une seule d'au moins 2 échelles (pour un même instrument, ou pas) avec :

1. origine commune & coupure différente
ou/et
2. origine différente & coupure commune
ou/et
3. origine différente & coupure différente

Ce sont des échelles qui ne sont pas encore parvenues à se faire entendre, tellement leur forme est éloignée de ce qui est figuré être une échelle. Pour l'image, imagine 2 échelles -pour monter sur le toit- qui chacune a une distance de marche différente, et à les superposer, ça n'en fait qu'une : observe les marches comment régulièrement elle s'écartent et se resserrent.

...

 

Echelles composées : identification des caractéristiques communes et regroupement familial

débuts opératoires du Champ Scalaire

 

Soit une tessiture d'instrument et/ou d'orchestre ; cette étendue instrumentale et/ou orchestrale peut être traitée soit avec une échelle solitaire et unique pour tout, soit avec une échelle composée constituée de plusieurs cycliques (au moins 2) aux intervalles différents ou similaires constituée de divisions différentes ou similaires.

3.1.1.1. Echelle simple : ^y√x où x et y sont uniques est une échelle solitaire.

3.1.1.2. Echelle composée : ^y√x où x et/ou y sont plusieurs (à partir de 2).

Remarque : une échelle composée est-elle encore une échelle ou devient-elle un mode ? Une échelle composée reste une échelle car dans le cycle les divisions restent équidistantes. Le cycle scalaire deviendrait un mode dans le cas où au moins une division serait différente des autres. Une échelle composée est une superposition de cycles : similaires et/ou différents avec des divisions similaires et/ou différentes. Quoiqu'il peut exister un cycle incrusté dans un autre. Une échelle possède une constante contrairement au mode.

3.1.1.3. dénombrement des formes des échelles composées possibles :

	y unique	plusieurs y à constante unique	plusieurs y à plusieurs constantes
x unique	x unique pour y unique	x unique pour plusieurs y à constante unique	x unique pour plusieurs y à plusieurs constantes
plusieurs x à constante unique	plusieurs x à constante unique pour y unique	plusieurs x à constante unique pour plusieurs y à constante unique	plusieurs x à constante unique pour plusieurs y à plusieurs constantes
plusieurs x à plusieurs constantes	plusieurs x à plusieurs constantes pour y unique	plusieurs x à plusieurs constantes pour plusieurs y à constante unique	plusieurs x à plusieurs constantes pour plusieurs y à plusieurs constantes

 

Il y a 8 Types d'E-chelles _Composées

C'est Quoi : la « constante » ? et ; y a-t-il une inconstante ? La constante est le même nombre qui multiplie différentes valeurs. Pour une inconstance, il suffit de changer la valeur multiple à la suite de façon inconstante. Plusieurs constantes en même temps ne pratiquent pas forcément l'inconstance mais le déphasage. Une échelle se construit toujours avec une constance sinon ce n'est pas une échelle, mais un mode.

 

dont 3 principales : Type 1 E_Composée, Type 3 E_Composée et Type 5 E_Composée de la forme : E_C={^Y_a√x ; ^y√X_a ; ^Y_a√X_a}

 

a-lignés et nommées :

Type 1 EComposée = {x unique avec plusieurs y à constante unique}	signifie : différentes divisions multiples d'un même intervalle
Type 2 EComposée = {x unique avec plusieurs y à plusieurs constantes}	signifie : différentes divisions non multiples d'un même intervalle
Type 3 EComposée = {plusieurs x à constante unique avec y unique}	signifie : division unique de différents intervalles multiples
Type 4 EComposée = {plusieurs x à plusieurs constantes avec y unique}	signifie : division unique de différents intervalles multiples
Type 5 EComposée = {plusieurs x à constante unique avec plusieurs y à constante unique}	signifie : différentes divisions multiples de différents intervalles multiples
Type 6 EComposée = {plusieurs x à constante unique avec plusieurs y à plusieurs constantes}	signifie : différentes divisions de différents intervalles multiples
Type 7 EComposée = {plusieurs x à plusieurs constantes avec plusieurs y à constante unique}	signifie : différentes divisions multiples de différents intervalles multiples
Type 8 EComposée = {plusieurs x à plusieurs constantes avec plusieurs y à plusieurs constantes}	signifie : différentes divisions de différents intervalles

 

 

3.1.1.4. L'E_Composée Type 1 a la forme ^Y_a√x où Y_a est l'ensemble des des différentes divisions y_a telles que :

Y_a = {y_a0 ; y_a1 ; y_a2 ; y_a3 ; y_a4 ; y_a5 ; y_a6 ; y_a7 ; etc.}

avec :
origine <=> y_a0
constante <=> c
opération <=> Op

Et obtenir la suite des échelles : ^y_a1√x : ^y_a2√x ; ^y_a3√x ; ^y_a4√x ; ^y_a5√x ; ^y_a6√x ; ^y_a7√x ; etc.

Exemple :

origine : 7
constante : 1,3
opération : x
nombre de diviseurs : 6

Nous avons la suite des entiers* Y = {7 ; 9 ; 11 ; 15 ; 20 ; 26}
[* les chiffres après la virgule sont ignorés pour éviter la disparition de l'intervalle divisé et permet la variation de la constante]

{⁷√x ; ⁹√x ; ¹¹√x ; ¹⁵√x ; ²⁰√x ; ²⁶√x}

Choix arbitraire d'une valeur d'intervalle x (ratio) entre la 5te (1,5) et l'8ve (2) : x = 1,7 septième septendécimale diminuée (= 918,64 cents) ou sixte augmentée : 17/10.

{⁷√1,7 ; ⁹√1,7 ; ¹¹√1,7 ; ¹⁵√1,7 ; ²⁰√1,7 ; ²⁶√1,7} ou {⁷√17/10 ; ⁹√17/10 ; ¹¹√17/10 ; ¹⁵√17/10 ; ²⁰√17/10 ; ²⁶√17/10}

résultats :

en rapports (ratio) {1,07875 ; 1,06073 ; 1,04942 ; 1,03601 ; 1,02689 ; 1,02062}

en cents {131,23 ; 102,07 ; 83,51 ; 61,24 ; 45,93 ; 35,33}

échelle 1,07875 en Hz (diapason 440Hz la3) origine do3 261Hz
échelle proche 61/36 = 1,6944.. <=> 912,9748 cents

Les 6 échelles + la similarisée (61/39) à partir de la même origine : do3 261 Hz

	61/36	A	B	C	D	E	F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26	261,63 Hz 282,23 Hz 304,46 Hz 328,43 Hz 354,30 Hz 382,20 Hz 412,30 Hz 444,77 Hz 479,79 Hz 517,57 Hz 558,33 Hz 602,30 Hz 649,73 Hz 700,90 Hz 756,09 Hz 815,63 Hz 879,86 Hz 949,15 Hz 1023,90 Hz 1104,53 Hz	0: 1 unisson 261,6255 1: 131,235 cents 282,2288 2: 262,469 cents 304,4547 3: 393,704 cents 328,4308 4: 524,938 cents 354,2952 5: 656,173 cents 382,1963 6: 787,407 cents 412,2947 7: 17/10 444,7634	0: 1 unisson 261.6255 1: 102.071 cents 277.5144 2: 204.143 cents 294.3683 3: 306.214 cents 312.2457 4: 408.285 cents 331.2088 5: 510.356 cents 351.3236 6: 612.428 cents 372.6600 7: 714.499 cents 395.2921 8: 816.570 cents 419.2988 9: 17/10 444.7634	0: 1 unisson 261.6255 1: 083.513 cents 274.5554 2: 167.026 cents 288.1243 3: 250.539 cents 302.3638 4: 334.052 cents 317.3070 5: 417.564 cents 332.9888 6: 501.077 cents 349.4456 7: 584.590 cents 366.7156 8: 668.103 cents 384.8392 9: 751.616 cents 403.8585 10: 835.129 cents 423.8178 11: 17/10 444.7634	0: 1 unisson 261.6255 1: 061.243 cents 271.0462 2: 122.486 cents 280.8062 3: 183.728 cents 290.9175 4: 244.971 cents 301.3930 5: 306.214 cents 312.2457 6: 367.457 cents 323.4891 7: 428.699 cents 335.1374 8: 489.942 cents 347.2052 9: 551.185 cents 359.7075 10: 612.428 cents 372.6600 11: 673.671 cents 386.0788 12: 734.913 cents 399.9809 13: 796.156 cents 414.3836 14: 857.399 cents 429.3048 15: 17/10 444.7634	0: 1 unisson 261.6255 1: 045.932 cents 268.6597 2: 091.864 cents 275.8830 3: 137.796 cents 283.3006 4: 183.728 cents 290.9175 5: 229.660 cents 298.7393 6: 275.593 cents 306.7713 7: 321.525 cents 315.0194 8: 367.457 cents 323.4891 9: 413.389 cents 332.1866 10: 459.321 cents 341.1180 11: 505.253 cents 350.2894 12: 551.185 cents 359.7075 13: 597.117 cents 369.3788 14: 643.049 cents 379.3101 15: 688.981 cents 389.5084 16: 734.913 cents 399.9809 17: 780.845 cents 410.7350 18: 826.778 cents 421.7782 19: 872.710 cents 433.1184 20: 17/10 444.7634	0: 1 unisson 261.6255 1: 35.332 cents 267.0198 2: 70.665 cents 272.5254 3: 105.997 cents 278.1444 4: 141.329 cents 283.8793 5: 176.662 cents 289.7325 6: 211.994 cents 295.7063 7: 247.327 cents 301.8033 8: 282.659 cents 308.0261 9: 317.991 cents 314.3771 10: 353.324 cents 320.8591 11: 388.656 cents 327.4747 12: 423.988 cents 334.2267 13: 459.321 cents 341.1180 14: 494.653 cents 348.1513 15: 529.986 cents 355.3296 16: 565.318 cents 362.6560 17: 600.650 cents 370.1334 18: 635.983 cents 377.7650 19: 671.315 cents 385.5539 20: 706.647 cents 393.5034 21: 741.980 cents 401.6169 22: 777.312 cents 409.8976 23: 812.645 cents 418.3491 24: 847.977 cents 426.9748 25: 883.309 cents 435.7783 26: 17/10 444.7634

Ce type de suite d'échelles composées à partir d'une même origine permet la pratique de la diminution ou/et de l'augmentation de la densité dans une même tessiture. Ici 17/10 ou 918,64 cents. La tessiture globale de la superposition des 6 cycles est : 17/10⁶ = 24,1376 ou 918,64 x 6 = 5511,84 cents (~ 4,6 8ves). Généralement, les intervalles serrés sont mieux perçus dans l'aigu.

Dans ce cas; 444,76Hz tient le rôle de diapason et 261,62Hz (do3) la fréquence de référence de la hauteur pivot.

 

Les 6 échelles avec 6 origines qui se suivent forment un champ scalaire à un moment t.

A (1,07875)

B (1,06073)

C (1,04942)

D (1,03601)

E (1,02689)

F (1,02062)

cents

Hz

cents

Hertz

cents

Hz

cents

Hz

cents

Hz

cents

Hz

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

0: 1 unisson 1: 131,235 2: 262,469 3: 393,704 4: 524,938 5: 656,173 6: 787,407 7: 17/10

261,6255 282,2288 304,4547 328,4308 354,2952 382,1963 412,2947 444,7634

0: 1 unisson 1: 102.071 2: 204.143 3: 306.214 4: 408.285 5: 510.356 6: 612.428 7: 714.499 8: 816.570 9: 17/10

444,7634 471,7738 500,4247 530,8155 563,0519 597,2461 633,5168 671,9903 712,8002 756,0886

0: 1 unisson 1: 083.513 2: 167.026 3: 250.539 4: 334.052 5: 417.564 6: 501.077 7: 584.590 8: 668.103 9: 751.616 10: 835.129 11: 17/10

756,0886 793,4545 832,6671 873,8174 917,0014 962,3196 1009,8775 1059,7857 1112,1603 1167,1232 1224,8025 1285,3322

0: 1 unisson 1: 061.243 2: 122.486 3: 183.728 4: 244.971 5: 306.214 6: 367.457 7: 428.699 8: 489.942 9: 551.185 10: 612.428 11: 673.671 12: 734.913 13: 796.156 14: 857.399 15: 17/10

1285,3322 1331,1617 1379,5685 1429,2468 1480,714 1534,0345 1589,275 1646;5048 1705,7955 1767,2212 1830,8588 1896,788 1965,0913 2035,8543 2109,1654 2185,1164

0: 1 unisson 1: 045.932 2: 091.864 3: 137.796 4: 183.728 5: 229.660 6: 275.593 7: 321.525 8: 367.457 9: 413.389 10: 459.321 11: 505.253 12: 551.185 13: 597.117 14: 643.049 15: 688.981 16: 734.913 17: 780.845 18: 826.778 19: 872.710 20: 17/10

2185,1164 2243,8742 2304,2119 2366,1722 2429,7986 2495,1358 2562,23 2631,1284 2701,8794 2774,533 2849,1402 2925,7535 3004,427 3085,2161 3168,1775 3253,3698 3340,8529 3430,6885 3522,9397 3617,6715 3714,9507

0: 1 unisson 1: 35.332 2: 70.665 3: 105.997 4: 141.329 5: 176.662 6: 211.994 7: 247.327 8: 282.659 9: 317.991 10: 353.324 11: 388.656 12: 423.988 13: 459.321 14: 494.653 15: 529.986 16: 565.318 17: 600.650 18: 635.983 19: 671.315 20: 706.647 21: 741.980 22: 777.312 23: 812.645 24: 847.977 25: 883.309 26: 17/10

3714,9507 3791,553 3869,7348 3949,5287 4030,968 4114,0866 4198,919 4285,5007 4373,8678 4464,0569 4556,1058 4650,0527 4745,9367 4843,798 4943,6771 5045,6157 5149,6563 5255,8422 5364,2176 5474,8278 5587,7187 5702,9375 5820,5321 5940,5514 6063,0456 6188,0656 6315,6635

Le nombre de dispositions de ces 6 échelles dans l'espace des fréquences (superposées les unes aux autres) est 6! = 720 possibilités où 2 sont progressives (du + petit au + grand ou le contraire) et 718 qui ne le sont pas.

Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : F
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : E
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : D
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : C
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : B
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : A

Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : A
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : B
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : C
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : D
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : E
Arrangement de la + fine coupure à la plus grosse : F

Arrangements irréguliers : B C A
Arrangements irréguliers : D B F
Arrangements irréguliers : F A C
Arrangements irréguliers : A E C
Arrangements irréguliers : E F  B
Arrangements irréguliers : C D E ...

Download the composed scale with its 6 lonely scales in Scala & Kontakt sampler format .zip 34Ko

 

3.1.1.5. L'E_Composée Type 3 a la forme ^y√X_a où X_a est l'ensemble des différentes tessitures divisées x_a telles que :

X_a = {x_a0 ; x_a1 ; x_a2 ; x_a3 ; x_a4 ; x_a5 ; x_a6 ; x_a7 ; etc.}

avec :
origine <=> x_a0
constante <=> c
opération <=> Op

Et obtenir la suite des échelles : ^y√x_a1 : ^y√x_a2 ; ^y√x_a3 ; ^y√x_a4 ; ^y√x_a5 ; ^y√x_a6 ; ^y√x_a7 ; etc.

Exemple :

origine : 1,7
constante : 1,3
opération : x
nombre de cycles : 6

Nous avons la suite des 6 intervalles X = {1,7 ; 2,21 ; 2,873 ; 3,7349 ; 4,8554 ; 6,312 ; (8,2)}

qui forme l'intervalle de la tessiture globale de 21,6853 = 1,7 + 2,21 + 2,873 + 3,7349 + 4,8554 + 6,312
21,6853 se situe entre 4 et 5 8ves : entre 16 et 32

{^y√1,7 ; ^y√2,21 ; ^y√2,873 ; ^y√3,7349 ; ^y√4,8554 ; ^y√6,312}

Choix arbitraire d'une valeur de coupure, de division : 13 (nous apprécions les nombres premiers), ce qui nous donne :

{¹³√1,7 ; ¹³√2,21 ; ¹³√2,873 ; ¹³√3,7349 ; ¹³√4,8554 ; ¹³√6,312}

résultats :

{1,04166 ; 1,0629 ; 1,08457 ; 1,10668 ; 1,12924 ; 1,15226}

Pour comparaison, la division équidistante de l'ambitus, tessiture globale 21,6853 par le nombre global de coupures 13 x 6 = 78 : ⁷⁸√21,6853 = 1,04023

résultats en cents : {70,661 ; 105,607 ; 140,548 ; 175,486 ; 210,423 ; 245,36}

 

...

 

3.1.1.6. L'E_Composée Type 5 a la forme ^Y_a√X_a où X_a est l'ensemble des différentes tessitures divisées x_a et Y_a est l'ensemble des différentes divisions y_a telles que :

...

 

3.1.2. Déphasage d'échelles et leur composition

2 échelles en déphasage forment une échelle cyclique

L'association de 2 échelles ou plus ayant la même origine fréquentielle correspondant à la même note vont se décaler, c'est-à-dire que le rapport entre l'intervalle de la 1ere échelle et l'intervalle de la 2de, etc., se modifie suivant sa position (du degré) dans leur réunion. Une fois le cycle du déphasage achevé, on retrouvera la suite des mêmes intervalles qui se répètent. La longueur du cycle dépend du rapport multiple entre les échelles (leur intervalle respectif) ainsi que de la proximité de leurs intervalles : + ils sont proches + ils mettront du temps à se coïncider.

...

 

3.1.3. Les Échelles convexes et concaves fixes

Suite progressive vers

l'élargissement = exponentielle et
le resserrement = logarithmique des intervalles => accélération et ralentissement de la suite des intervalles.
Des opérations d'expansion et de compression.

...

 

3.1.4. Échelles à fréquences mobiles intenables = les échelles élastiques

Une échelle avec ses rapports fixés = son intervalle régulier qui se tend pour se resserrer et se détend pour s'élargir forme « une échelle malmenée » ou « une échelle turbulente » à partir de son diapason * stable = attachée à une fréquence de référence (= la même chose pour toutes les distinguées). À ce stade, l'échelle est tenue par la fréquence de référence. C'est une échelle dure qui est fixe.

Dans le cas où la fréquence de référence lâche l'échelle, l'échelle (= un intervalle qui se tend et se détend dans la distance) amarrée est démarrée et devient molle : élastique.

[Le dur bandant du mode majeur mâle jovial et le mol mouillant du mode mineur féminin triste se retrouvent dans le champ scalaire mais non-discriminés (ni méprisés ni humiliés) car débarrassés de la morale raciste de la domination masculine soutenue par la soumission féminine. On retrouve son état premier d'être souple ou rigide, rien de +.]

[* Diapason de « dia » = distinguer (le jour = dieu) en divisant (comme diable ou diarrhée ou diaphane ou diamètre), et « pason » de « pas » (singulier) et « pantos » (pluriel) = tout, qui se réfère de pan- qui exprime l'idée de totalité, mais pas celle de multiplicité. À la fin du XIXe et au début du XXe siècle toute « population » était alors pan- (panarabe, paneuropéen, panrusse, panaméricain, etc., même le sonique, même le sperme). D'être une octave (= un doublement ; comme 8 est le double de 4 qui est le double de 2), il est devenu un instrument (1803) qui produit une « hauteur » une « note » fixe (= la fréquence 440 Hz = la3 = 440 pulsations par seconde) de référence qui accorde l'échelle unique retenue (une octave divisée en 12 degrés) à tous les instruments de musique et les voix d'Occident dans le monde (sic). Alain Rey suggère le sous-entendu de « dia pasôn » = « khordôn sumphonia » = échelle de toutes les « notes » hauteurs (possible). Aujourd'hui, ce « tout » (pan) est un possible champ scalaire = une aire de jeu des transformations polyscalaires multiples (sans le totalitaire pan).]

...

 

hauteur
intervalle
mode

Départ de l'exploration nonoctaviante
Comment noter toutes les échelles pour les musiciens ?

L'harmonie nonoctaviante, révolution musicale
Théorie des Champs Scalaires

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