échelles :

des suites en séries infinies pour les hôtes

1984 (1ere publication université Paris VIII 1987)

repères soniques dans le champ vibratoire

 

 

3.1.1. Une échelle ? une suite (logarithmique) d'intervalles similaires chiffrés (des clones) équidistants définissant des bornes, horaires, hauteurs, notes, etc.
3.1.1. Une échelle est une fréquence de fréquences.
3.1.1. Une échelle a la fonction d'une dimension spatio-temorelle d'un repère : l'échelle donne à localiser le vibratoire "sauvage" (non dressé, non éduqué, libre, incompris, incompréhensible, inconcevable, incommensurable, etc.).

3.1.2. L'échelle est illimitée, elle couvre, déborde et dépasse, sans commencement ni fin notre (idée de la) perception (notre idée de ce qui est percevable).

3.1.3. Il y a une infinité d'échelles.

3.1.4. La formule : i = y√x = x1/y (avec i, x, y éléments de l'ensemble des nombres réels R) définit l'échelle et son équidistance où x est l'intervalle, l'ambitus, la tessiture, l'étendue divisé, strié, coupé et y le nombre de divisions, de stries, de coupures. i est le rapport qui définit l'intervalle algorithmique (qui multiplie et divise la fréquence, la longueur, la position de la frette, du trou, etc., pour obtenir la fréquence, la longueur, la position du trou, de la frette, etc., suivante).

3.1.5. Il y a différents types d'échelles ou : l'ensemble infini des échelles infinies possède un nombre fini de sous-ensembles au nombre d'échelles infinies.

3.1.6. 3 types d'échelles :

1. Cycliques
2. Noncycliques
3. Semicycliques

3.1.7. Définition des 3 types

1a. Cyclique octaviante. Division de l'intervalle d'octave 2 en n parties égales (au moins 5 : y ≥ 5) où chaque hauteur retrouve son octave de la forme y√2, avec y élément des entiers naturels N. Si y est élément de R, il y a désoctaviation. Forme circulaire, orbitale.

1b. Cyclique. Echelle divisant en n parties égales un intervalle se répétant au moins 2 fois dans le champ audible des hauteurs du contexte instrumental où chaque hauteur retrouve son même rapport dans le cycle suivant de la forme y√x avec y élément de N et x élément de R. Forme circulaire, orbitale.

2. Noncyclique. Echelle ne répétant pas un cycle, car l'étendue de son intervalle divisé x est supérieure ou égale au champ audible du contexte instrumental. Forme rectiligne courbe. x est grand dans les repères de 8 (3 octaves) à 128 (7 octaves) à 1024 (10 octaves)*. Pour maintenir la nonocyclicité, c'est-à-dire pour qu'aucune hauteur ne retrouve son même rapport dans une sous-division, y doit être premier. Si y est pair ou impair, l'échelle perd sa noncyclicité.

* remarque
L'8ve reste un repère connu pour se représenter une étendue audible.

3. Semicyclique. Echelle répétant un cycle au + 2 fois au - une fois. Il n'est ni un cycle ni un noncycle.

3.1.8. Dans la formule y√x, si y n'est pas entier (élément des entiers naturels N), ça annule le cycle divisé, strié.

exemple simple : si 1,5√2 = 1,5874 (8ve div 5te) le cycle n'est pas 2 mais 4 (2x8ve) : 3√4.

3.1.9. Une échelle noncyclique ou semicyclique peut devenir cyclique par assimilation (l'imperception de différence).

exemple : l'échelle noncyclique Ourdission 41 qui divise la tessiture de la flûte (3x8ve) par le nombre premier 41 : 41√8 = 1,05203 peut être assimilée par l'échelle cyclique 8√1,5 = 1,05199.

3.1.0.1. 2 formes d'échelles :

1. symétrique
2. asymétrique

3.1.0.2. définitions des 2 formes d'échelles

Une échelle symétrique divise l'intervalle dividende par une racine (diviseur à la puissance) paire. Une échelle symétrique reconnaît : un degré centre de symétrie dans sa division dont la moitié est (le miroir non inverse) la réplique exacte de l'autre. La moitié binaire de l'échelle striée se confond avec l'autre moitié.

Une échelle asymétrique divise l'intervalle dividende par une racine (diviseur à la puissance) impaire et première. Une échelle asymétrique n'a pas de degré centre qui divise l'échelle en 2 dont l'une moitié ne peut pas se confondre avec l'autre.

3.1.0.3. Récapitulation des formes scalaires

  cyclique noncyclique semicyclique
symétrique échelle
cyclique symétrique
échelle noncyclique symétrique échelle
semicyclique symétrique
asymétrique échelle cyclique asymétrique échelle
noncyclique asymétrique
échelle
semicyclique asymétrique

6 formes scalaires pour des suites équidistantes d'intervalles : qui l'eut cru ?

 

3.1.1.0. Construire les échelles

Construire une échelle inouïe procure la même sensation que de d'ouvrir la porte et de s'introduire dans un lieu interdit.
Interdit (pour votre sécurité) parce qu'il est inconnu.

méthode :

1. choisir un nombre réel x > 1 à diviser un intervalle : une tessiture instrumentale et/ou orchestrale ou une partie de tessiture instrumentale et/ou orchestrale
2. choisir un nombre entier y > 5 de divisions (paires, impaires, premières)
3. choisir la fréquence (pivot) origine à partir de laquelle démarre l'échelle
    en fonction du diapason accordé au la3 440Hz ou pas : voire + ou - 414Hz à 467Hz ou 392Hz à 493Hz etc.
4. multiplier la fréquence origine-pivot
par : y√x ; (y√x)2 ; (y√x)3 ; (y√x)4 ; (y√x)5 ; (y√x)6 ; (y√x)7 ; etc. pour les fréquences « supérieures » vers l'aigu
par : (y√x)-1 ; (y√x)-2 ; (y√x)-3 ; (y√x)-4 ; (y√x)-5 ; (y√x)-6 ; (y√x)-7 ; etc. pour les fréquences « inférieures » vers le grave

Ainsi s'obtient une échelle inouïe.

 

3.111.0. Limites du champ vibratoire perçu audible : de l'infiniment vaste à l'infiniment serré

Dépend du conditionnement, du contexte historico-géographique, de la culture et de la forme physiologique du processus de l'audition de chacun.

Mais le champ audible est délimité par les physiciens théoriquement entre 20Hz et 20kHz qui dans la réalité acoustique est plus proche d'entre 30Hz et 16kHz. 20kHz/20Hz = 1000. 16kHz/30Hz = 533,33.. . 12kHz/30Hz = 400 reste suffisant. Il est bien sûr possible de construire des échelles avec des intervalles plus grands que le champ audible théorique, en particulier pour les échelles noncycliques.

Dans l'autre sens de l'infiniment serré, le savart (francophone) qui est de 25 pour 1/2 ton tempéré et 300 pour une octave. Le cent (anglophone) qui est de 100 cents pour 1/2 ton tempéré et 1200 pour une octave, restent indifférenciables pour la plupart des auditeurs : entre 1 et 2 savarts et entre 1 et 2 cents. Julian Carillo est allé jusqu'à 1/16e de ton ou 96 divisions pour une octave ou 3,125 savarts ou 12,5 cents. Il est bien sûr possible de construire des échelles génératrices d'autres échelles et modes avec des divisions indistinguables trop petites pour en sortir des multiples plus grandes.

Aussi en allant au-delà de ces micro-intervalles, l'échelle peut être produite pour le jeu des battements là où pour distinguer la différence il faut user de la modulation d'amplitude pour jouer des battements et enterre en même temps la dispute consonant/dissonant (beau/pas beau). Voici une proposition prête à jouer pour sampler kontakt 2 : un sinus accordé au diapason 440 Hz sur l'échelle d'1/17e de ton ou 102 divisions pour une octave ou 2,941... savarts ou 11,764... cents .nkm 13Ko.

3.111.1 La distinction perceptive des grands intervalles est proportionnelle à leurs grandeurs. Plus l'intervalle est grand, plus l'intervalle de distinction entre 2 intervalles est grand : la marge de tolérance s'élargit. Et vice versa. Cette marge de distinction ou d'assimilation dépend de chacun de nous : degré de concentration, conditionnement, physiologie, contexte, etc.

 

3.1.1.1.2. Correspondances d'échelles

I. correspondance par fréquence fixe ou stable

La correspondance permet de passer d'une échelle à l'autre par un degré commun (une fréquence commune stable à plusieurs échelles différentes).
[Si l'intervalle est commun entre plusieurs échelles, signifie que toutes les échelles différentes sont en fait similaires...]

a. Cette correspondance d'échelles commence par le « diapason » :

Si les échelles (de différents instruments) sont accordées au même diapason, le diapason est alors un degré de correspondance d'une échelle à l'autre si les échelles n'ont aucun élément commun.

b. Et se poursuit avec le « degré de référence » (ou fréquence de référence ou note étalon ou hauteur pivot) : la fréquence à partir de laquelle se construit l'échelle.

Si les échelles sont construites à partir d'un même degré de référence, le degré de référence est un degré de correspondance d'une échelle à l'autre, si les échelles n'ont aucun autre élément commun.
[Notons que superposer plusieurs échelles construites à partir de la même fréquence pivot permet le déphasage d'échelles.]

Les 2 correspondances suivantes s'opèrent par les degrés communs à différentes échelles :

1. correspondances directes : quand au moins 1 degré d'une échelle A est similaire à au moins 1 degré d'une échelle B

Pour localiser les degrés communs dans différentes échelles, nous utilisons la « théorie des ensembles » avec l'opération intersection.

2. correspondances multiples : quand au moins 1 degré d'une échelle A est multiple à au moins 1 degré d'une échelle B

Les degrés multiples en musique dépendent plus de l'audition que du calcul. Le calcul peut seulement confirmer une fréquence multiple.
a. correspondance dans le cas d'une division similaire d'un cycle, d'un noncycle, d'un semicycle différent
b. correspondance dans le cas d'une division différente d'un cycle, d'un noncycle, d'un semicycle similaire
c. correspondance dans le cas d'une division différente d'un cycle, d'un noncycle, d'un semicycle différent

II. correspondances par fréquence mobile ou instable

Le glissement permet d'aller où on veut et ne s'évalue qu'à l'écoute.

III. correspondance par sauts

Cette correspondance ne tient pas compte d'opérations de rapprochements, c'est un déplacement par audace.

 

3.1.1.1.3. Déphasage d'échelles

Le déphasage d'échelles suppose le jeu simultané de plusieurs échelles.

Un déphasage d'échelles se réalise quand plusieurs échelles, jouées en même temps, démarrent et sont construite à partir et sur la même fréquence de référence (ou hauteur pivot ou origine). Avec 2 intervalles proches, on entend l'éloignement progressif l'une de l'autre puis du rapprochement jusqu'à la coïncidence absolue (par similarité des mêmes ou indistinction sans phénomène supplémentaire) ou relative (fréquences très proches mais non similaires qui s'évaluent aux battements : à la modulation d'amplitude) de 2 fréquences ou +.

Un déphasage d'échelles est le jeu simultané d'au moins 2 échelles (pour un même instrument ou pas) avec :

1. origine commune & coupure différente
ou/et
2. origine différente & coupure commune
ou/et
3. origine différente & coupure différente

...

 

Echelles composées : identification des caractéristiques communes et regroupement familial

débuts opératoires du Champ Scalaire

 

Soit une tessiture d'instrument et/ou d'orchestre ; cette étendue instrumentale et/ou orchestrale peut être traitée soit avec une échelle solitaire et unique pour tout, soit avec une échelle composée constituée de plusieurs cycliques (au moins 2) aux intervalles différents ou similaires constituée de divisions différentes ou similaires.

3.1.1.1. Echelle simple : y√x où x et y sont uniques est une échelle solitaire.

3.1.1.2. Echelle composée : y√x où x et/ou y sont plusieurs (à partir de 2).

Remarque : une échelle composée est-elle encore une échelle ou devient-elle un mode ? Une échelle composée reste une échelle car dans le cycle les divisions restent équidistantes. Le cycle scalaire deviendrait un mode dans le cas où au moins une division serait différente des autres. Une échelle composée est une superposition de cycles : similaires et/ou différents avec des divisions similaires et/ou différentes. Quoiqu'il peut exister un cycle incrusté dans un autre. Une échelle possède une constante contrairement au mode.

3.1.1.3. dénombrement des formes des échelles composées possibles :

  y unique plusieurs y à constante unique plusieurs y à plusieurs constantes
x unique x unique pour y unique x unique pour plusieurs y à constante unique x unique pour plusieurs y à plusieurs constantes
plusieurs x à constante unique plusieurs x à constante unique pour y unique plusieurs x à constante unique pour plusieurs y à constante unique plusieurs x à constante unique pour plusieurs y à plusieurs constantes
plusieurs x à plusieurs constantes plusieurs x à plusieurs constantes pour y unique plusieurs x à plusieurs constantes pour plusieurs y à constante unique plusieurs x à plusieurs constantes pour plusieurs y à plusieurs constantes

 

Il y a 8 Types d'E-chelles Composées

C'est Quoi : la « constante » ? et ; y a-t-il une inconstante ? La constante est le même nombre qui multiplie différentes valeurs. Pour une inconstance, il suffit de changer la valeur multiple à la suite de façon inconstante. Plusieurs constantes en même temps ne pratiquent pas forcément l'inconstance mais le déphasage. Une échelle se construit toujours avec une constance sinon ce n'est pas une échelle, mais un mode.

 

dont 3 principales : Type 1 EComposée, Type 3 EComposée et Type 5 EComposée de la forme : EC={Ya√x ; y√Xa ; Ya√Xa}

 

a-lignés et nommées :

Type 1 EComposée = {x unique avec plusieurs y à constante unique}

signifie : différentes divisions multiples d'un même intervalle

Type 2 EComposée = {x unique avec plusieurs y à plusieurs constantes}
signifie : différentes divisions non multiples d'un même intervalle
Type 3 EComposée = {plusieurs x à constante unique avec y unique} signifie : division unique de différents intervalles multiples
Type 4 EComposée = {plusieurs x à plusieurs constantes avec y unique}
signifie : division unique de différents intervalles multiples
Type 5 EComposée = {plusieurs x à constante unique avec plusieurs y à constante unique} signifie : différentes divisions multiples de différents intervalles multiples
Type 6 EComposée = {plusieurs x à constante unique avec plusieurs y à plusieurs constantes}
signifie : différentes divisions de différents intervalles multiples

Type 7 EComposée = {plusieurs x à plusieurs constantes avec plusieurs y à constante unique}

signifie : différentes divisions multiples de différents intervalles multiples

Type 8 EComposée = {plusieurs x à plusieurs constantes avec plusieurs y à plusieurs constantes}

signifie : différentes divisions de différents intervalles

 

 

3.1.1.4. L'EComposée Type 1 a la forme Ya√x où Ya est l'ensemble des des différentes divisions ya telles que :

Ya = {ya0 ; ya1 ; ya2 ; ya3 ; ya4 ; ya5 ; ya6 ; ya7 ; etc.}

avec :
origine <=> ya0
constante <=> c
opération <=> Op

Et obtenir la suite des échelles : ya1√x : ya2√x ; ya3√x ; ya4√x ; ya5√x ; ya6√x ; ya7√x ; etc.

Exemple :

origine : 7
constante : 1,3
opération : x
nombre de diviseurs : 6

Nous avons la suite des entiers* Y = {7 ; 9 ; 11 ; 15 ; 20 ; 26}
[* les chiffres après la virgule sont ignorés pour éviter la disparition de l'intervalle divisé et permet la variation de la constante]

{7√x ; 9√x ; 11√x ; 15√x ; 20√x ; 26√x}

Choix arbitraire d'une valeur d'intervalle x (ratio) entre la 5te (1,5) et l'8ve (2) : x = 1,7 septième septendécimale diminuée (= 918,64 cents) ou sixte augmentée : 17/10.

{7√1,7 ; 9√1,7 ; 11√1,7 ; 15√1,7 ; 20√1,7 ; 26√1,7} ou {7√17/10 ; 9√17/10 ; 11√17/10 ; 15√17/10 ; 20√17/10 ; 26√17/10}

résultats :

en rapports (ratio) {1,07875 ; 1,06073 ; 1,04942 ; 1,03601 ; 1,02689 ; 1,02062}

en cents {131,23 ; 102,07 ; 83,51 ; 61,24 ; 45,93 ; 35,33}

échelle 1,07875 en Hz (diapason 440Hz la3) origine do3 261Hz
échelle proche 61/36 = 1,6944.. <=> 912,9748 cents

Les 6 échelles + la similarisée (61/39) à partir de la même origine : do3 261 Hz

  61/36 A B C D E F

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26


261,63 Hz
282,23 Hz
304,46 Hz
328,43 Hz
354,30 Hz
382,20 Hz
412,30 Hz
444,77 Hz
479,79 Hz
517,57 Hz
558,33 Hz
602,30 Hz
649,73 Hz
700,90 Hz
756,09 Hz
815,63 Hz
879,86 Hz
949,15 Hz
1023,90 Hz
1104,53 Hz

0: 1 unisson 261,6255
1: 131,235 cents 282,2288
2: 262,469 cents 304,4547
3: 393,704 cents 328,4308
4: 524,938 cents 354,2952
5: 656,173 cents 382,1963
6: 787,407 cents 412,2947
7: 17/10 444,7634


0: 1 unisson 261.6255
1: 102.071 cents 277.5144
2: 204.143 cents 294.3683
3: 306.214 cents 312.2457
4: 408.285 cents 331.2088
5: 510.356 cents 351.3236
6: 612.428 cents 372.6600
7: 714.499 cents 395.2921
8: 816.570 cents 419.2988
9: 17/10 444.7634

0: 1 unisson 261.6255
1: 083.513 cents 274.5554
2: 167.026 cents 288.1243
3: 250.539 cents 302.3638
4: 334.052 cents 317.3070
5: 417.564 cents 332.9888
6: 501.077 cents 349.4456
7: 584.590 cents 366.7156
8: 668.103 cents 384.8392
9: 751.616 cents 403.8585
10: 835.129 cents 423.8178
11: 17/10 444.7634

0: 1 unisson 261.6255
1: 061.243 cents 271.0462
2: 122.486 cents 280.8062
3: 183.728 cents 290.9175
4: 244.971 cents 301.3930
5: 306.214 cents 312.2457
6: 367.457 cents 323.4891
7: 428.699 cents 335.1374
8: 489.942 cents 347.2052
9: 551.185 cents 359.7075
10: 612.428 cents 372.6600
11: 673.671 cents 386.0788
12: 734.913 cents 399.9809
13: 796.156 cents 414.3836
14: 857.399 cents 429.3048
15: 17/10 444.7634

0: 1 unisson 261.6255
1: 045.932 cents 268.6597
2: 091.864 cents 275.8830
3: 137.796 cents 283.3006
4: 183.728 cents 290.9175
5: 229.660 cents 298.7393
6: 275.593 cents 306.7713
7: 321.525 cents 315.0194
8: 367.457 cents 323.4891
9: 413.389 cents 332.1866
10: 459.321 cents 341.1180
11: 505.253 cents 350.2894
12: 551.185 cents 359.7075
13: 597.117 cents 369.3788
14: 643.049 cents 379.3101
15: 688.981 cents 389.5084
16: 734.913 cents 399.9809
17: 780.845 cents 410.7350
18: 826.778 cents 421.7782
19: 872.710 cents 433.1184
20: 17/10 444.7634

0: 1 unisson 261.6255
1: 35.332 cents 267.0198
2: 70.665 cents 272.5254
3: 105.997 cents 278.1444
4: 141.329 cents 283.8793
5: 176.662 cents 289.7325
6: 211.994 cents 295.7063
7: 247.327 cents 301.8033
8: 282.659 cents 308.0261
9: 317.991 cents 314.3771
10: 353.324 cents 320.8591
11: 388.656 cents 327.4747
12: 423.988 cents 334.2267
13: 459.321 cents 341.1180
14: 494.653 cents 348.1513
15: 529.986 cents 355.3296
16: 565.318 cents 362.6560
17: 600.650 cents 370.1334
18: 635.983 cents 377.7650
19: 671.315 cents 385.5539
20: 706.647 cents 393.5034
21: 741.980 cents 401.6169
22: 777.312 cents 409.8976
23: 812.645 cents 418.3491
24: 847.977 cents 426.9748
25: 883.309 cents 435.7783
26: 17/10 444.7634

Ce type de suite d'échelles composées à partir d'une même origine permet la pratique de la diminution ou/et de l'augmentation de la densité dans une même tessiture. Ici 17/10 ou 918,64 cents. La tessiture globale de la superposition des 6 cycles est : 17/106 = 24,1376 ou 918,64 x 6 = 5511,84 cents (~ 4,6 8ves). Généralement, les intervalles serrés sont mieux perçus dans l'aigu.

Dans ce cas; 444,76Hz tient le rôle de diapason et 261,62Hz (do3) la fréquence de référence de la hauteur pivot.

 

Les 6 échelles avec 6 origines qui se suivent forment un champ scalaire à un moment t.

  A (1,07875) B (1,06073) C (1,04942) D (1,03601) E (1,02689) F (1,02062)
  cents Hz cents Hertz cents Hz cents Hz cents Hz cents Hz

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

0: 1 unisson
1: 131,235
2: 262,469
3: 393,704
4: 524,938
5: 656,173
6: 787,407
7: 17/10


261,6255

282,2288
304,4547
328,4308
354,2952
382,1963
412,2947
444,7634

0: 1 unisson
1: 102.071
2: 204.143
3: 306.214
4: 408.285
5: 510.356
6: 612.428
7: 714.499
8: 816.570
9: 17/10

444,7634

471,7738
500,4247
530,8155
563,0519
597,2461
633,5168
671,9903
712,8002
756,0886

0: 1 unisson
1: 083.513
2: 167.026
3: 250.539
4: 334.052
5: 417.564
6: 501.077
7: 584.590
8: 668.103
9: 751.616
10: 835.129
11: 17/10

756,0886

793,4545
832,6671
873,8174
917,0014
962,3196
1009,8775
1059,7857
1112,1603
1167,1232
1224,8025
1285,3322

0: 1 unisson
1: 061.243
2: 122.486
3: 183.728
4: 244.971
5: 306.214
6: 367.457
7: 428.699
8: 489.942
9: 551.185
10: 612.428
11: 673.671
12: 734.913
13: 796.156
14: 857.399
15: 17/10

1285,3322

1331,1617
1379,5685
1429,2468
1480,714
1534,0345
1589,275
1646;5048
1705,7955
1767,2212
1830,8588
1896,788
1965,0913
2035,8543
2109,1654
2185,1164

0: 1 unisson
1: 045.932
2: 091.864
3: 137.796
4: 183.728
5: 229.660
6: 275.593
7: 321.525
8: 367.457
9: 413.389
10: 459.321
11: 505.253
12: 551.185
13: 597.117
14: 643.049
15: 688.981
16: 734.913
17: 780.845
18: 826.778
19: 872.710
20: 17/10

2185,1164

2243,8742
2304,2119
2366,1722
2429,7986
2495,1358
2562,23
2631,1284
2701,8794
2774,533
2849,1402
2925,7535
3004,427
3085,2161
3168,1775
3253,3698
3340,8529
3430,6885
3522,9397
3617,6715
3714,9507


0: 1 unisson
1: 35.332
2: 70.665
3: 105.997
4: 141.329
5: 176.662
6: 211.994
7: 247.327
8: 282.659
9: 317.991
10: 353.324
11: 388.656
12: 423.988
13: 459.321
14: 494.653
15: 529.986
16: 565.318
17: 600.650
18: 635.983
19: 671.315
20: 706.647
21: 741.980
22: 777.312
23: 812.645
24: 847.977
25: 883.309
26: 17/10

3714,9507

3791,553
3869,7348
3949,5287
4030,968
4114,0866
4198,919
4285,5007
4373,8678
4464,0569
4556,1058
4650,0527
4745,9367
4843,798
4943,6771
5045,6157
5149,6563
5255,8422
5364,2176
5474,8278
5587,7187
5702,9375
5820,5321
5940,5514
6063,0456
6188,0656
6315,6635

Le nombre de dispositions de ces 6 échelles dans l'espace des fréquences (superposées les unes aux autres) est 6! = 720 possibilités où 2 sont progressives (du + petit au + grand ou le contraire) et 718 qui ne le sont pas.

Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : F
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : E
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : D
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : C
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : B
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : A

Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : A
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : B
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : C
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : D
Arrangement de la + grosse coupure à la plus fine : E
Arrangement de la + fine coupure à la plus grosse : F

Arrangements irréguliers : B C A
Arrangements irréguliers : D B F
Arrangements irréguliers : F A C
Arrangements irréguliers : A E C
Arrangements irréguliers : E F  B
Arrangements irréguliers : C D E ...

Download the composed scale with its 6 lonely scales in Scala & Kontakt sampler format .zip 34Ko

 

3.1.1.5. L'EComposée Type 3 a la forme y√Xa où Xa est l'ensemble des différentes tessitures divisées xa telles que :

Xa = {xa0 ; xa1 ; xa2 ; xa3 ; xa4 ; xa5 ; xa6 ; xa7 ; etc.}

avec :
origine <=> xa0
constante <=> c
opération <=> Op

Et obtenir la suite des échelles : y√xa1 : y√xa2 ; y√xa3 ; y√xa4 ; y√xa5 ; y√xa6 ; y√xa7 ; etc.

Exemple :

origine : 1,7
constante : 1,3
opération : x
nombre de cycles : 6

Nous avons la suite des 6 intervalles X = {1,7 ; 2,21 ; 2,873 ; 3,7349 ; 4,8554 ; 6,312 ; (8,2)}

qui forme l'intervalle de la tessiture globale de 21,6853 = 1,7 + 2,21 + 2,873 + 3,7349 + 4,8554 + 6,312
21,6853 se situe entre 4 et 5 8ves : entre 16 et 32

{y√1,7 ; y√2,21 ; y√2,873 ; y√3,7349 ; y√4,8554 ; y√6,312}

Choix arbitraire d'une valeur de coupure, de division : 13 (nous apprécions les nombres premiers), ce qui nous donne :

{13√1,7 ; 13√2,21 ; 13√2,873 ; 13√3,7349 ; 13√4,8554 ; 13√6,312}

résultats :

{1,04166 ; 1,0629 ; 1,08457 ; 1,10668 ; 1,12924 ; 1,15226}

Pour comparaison, la division équidistante de l'ambitus, tessiture globale 21,6853 par le nombre global de coupures 13 x 6 = 78 : 78√21,6853 = 1,04023

résultats en cents : {70,661 ; 105,607 ; 140,548 ; 175,486 ; 210,423 ; 245,36}

 

...

 

3.1.1.6. L'EComposée Type 5 a la forme Ya√Xa où Xa est l'ensemble des différentes tessitures divisées xa et Ya est l'ensemble des différentes divisions ya telles que :

...

 

3.1.2. Déphasage d'échelles et leur composition

L'association de 2 échelles ou plus ayant la même origine fréquentielle correspondant à la même note vont se décaler, c'est-à-dire que le rapport entre l'intervalle de la 1ere échelle et l'intervalle de la 2de, etc., se modifie suivant sa position (du degré) dans leur réunion. Une fois le cycle du déphasage achevé, on retrouvera la suite des mêmes intervalles qui se répète. La longueur du cycle dépend du rapport multiple entre les échelles (leur intervalle respectif) ainsi que de la proximité de leurs intervalles : + ils sont proches + ils mettront du temps à se coïncider.

...

 

3.1.3. Les Echelles convexes-concaves deviennent-elles des modes ?

Suite progressive vers l'élargissement et le resserrement des intervalles => accélération et ralentissement de la suite de fréquences. Des opérations d'expenssion et de compression.

...

 

3.1.4. Echelles à fréquences mobiles intenables

 

 

hauteur
intervalle

mode

Départ de l'exploration nonoctaviante
Comment noter toutes les échelles pour les musiciens ?

L'harmonie nonoctaviante, révolution musicale
Théorie des Champs Scalaires

 

suite

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