Scalairisation des intervalles de la série harmonique
où chaque intervalle constitue une échelle nonoctaviante (avec quelques exceptions :)

En attente depuis 1983... non, depuis 26 siècles !
Le procédé de scalairisation était connu des anciens de l'Antiquité
bien avant notre ère. Pythagore scalairise la 5te harmonique
(pour ensuite reintroduire l'équivalence numérique de ses intervalles
dans l'octave qui ne coincident pas puisque la suite est nonoctaviante).
Pour entendre les 1ères échelles pythagorisées aller là :
PYTHAGORISATION DES INTERVALLES DE LA SÉRIE HARMONIQUE

La série harmonique =
la suite des nombres entiers
les éléments de l'ensemble N
forme une échelle logarithmique :
la redécouverte est notée à 10.6b.html

Qui l'eut cru ?

Les Justes Intonateurs ² (adeptes de Q) seront-ils contrariés ?
Les intellectuels et musiciens avant notre ère monothéique savaient différencier
les quotients de l'ensemble Q des rationnels ¹ (réels) de l'ensemble R
La division par la racine pour obtenir l'équidistance scalaire
La division par la fraction pour obtenir un intervalle.

.

Téléchargements pour entendre et comprendre les échelles harmoniques nonoctaviantes :
Download to listen and understand harmonic nonoctave scales:

. the 1rst 72 harmonics make a scale on keybord starts at key C0 with C1 note diapason 440Hz [tuning script for Kontakt sampler 4Ko]
. the 1rst 128 harmonics make a scale on keyboard [Scala tuning script .scl + 2 mapping .kbm at C-1 & C0 = 27.5Hz zip package 4Ko]
. 60 échelles harmoniques au format Scala tuning script .scl. Download
  60 shadow-sky harmonic scales (Scala tuning script format .scl in zip 40Ko)
. 60 échelles harmoniques au format Kontakt tuning script .nkp.
  Download 60 shadow-sky harmonic scales (Kontakt tuning script format .nkp in zip 300Ko)
. l'Abaque des échelles harmoniques nonoctaviantes [pdf 16Ko]

Notes

¹ : ne pas confondre rationnel et irrationnel du Q de l'R. Les quotients des réels. Pourquoi confondre nombre rationnels = calculables et nombres irrationnels = incalculables ? Il n'y a pas à poser un jugement moral qui n'est qu'une appellation. Les nombres de l'ensemble R sont nommés « réels » ou irrationnels. L'opération racine n-ième, dont on se sert pour calculer les échelles aux intervalles équidistants (égaux) est une division de la division [tel ³√2 = 2^1/3], l'inverse de l'opération puissance n-ième [tel 2³ = 2x2x2] où le résultat est nommé irrationnel bien qu'il ne le soit pas ! Un nombre est nommé irrationnel, car son résultat est infini, comme le nombre Pi. Mais très peu de fractions ont des résultats finis. Qui alors est rationnel et qui est irrationnel ?

² « L'intonation juste » est une idée réintroduite (sonnée) par le compositeur musicien Harry Partch qui construisit ses instruments accordés sur 13 échelles octaviantes de son invention formées avec des quotients (des nombres de l'ensemble Q). [disponibles là au format Scala]. Sa source de savoir était l'ouvrage (bien traduit en anglais mal traduit en français) de Hermann Helmholtz : On the Sensations of Tone, 1885. Un ouvrage dense de + de 500 pages qui à l'appendice XVII propose un « plan for justly intoned instrument... » et à partir de l'appendice XX, qui sont « des ajouts (additions by the translator) », insiste sur l'expérience d'une « intonation juste » dans l'idée tout aussi discriminante que celle de la monoscalairité égalisée : le projet de revenir ou de se rapprocher des intervalles de la série harmonique pour quitter l'égalisation scalaire crue fausse et artificielle. La compositrice Wendy Carlos a proposé 2 échelles « ajustées » : la « Super Just [12 tone] scale » et l' « Harmonic [12 tone] scale ». D'un bord à l'autre, ça se tiraille pour pas grand-chose ! De l'autre côté de l'Atlantique, à la même époque qu'Harry Partch, Ivan Wyschnegradsky propose lui aussi une polyscalairité compositionnelle (sans la nommer), mais qui reste, encore, tonale (divisant le ton égalisé à ⁶√2 = 2^1/6 = 1,1224620483093729814335330496792... représenté par 200 cents en 1/3 1/4 1/5e 1/6e 1/7e 1/8e 1/9e 1/10e 1/11e et 1/12e de ton) opérée par les racines tout en redécouvrant la nonoctaviation de la scalairité. Son ouvrage : La loi de la pansonorité (1924) est disponible là (ceux d'Aristoxène, de Xenakis et Riotte aussi) : centrebombe/biblio.html. Manuel Op de Coul (l'auteur qui a réalisé le calculateur d'échelle Scala) me demanda pourquoi j'ai commencé mon investigation/exploration scalaire par les les échelles multiples du ton égalisé. Eh bien, à la suite de Jean-Etienne Marie (L'homme musical, 1976), d'André Riotte (Formalisation de structures musicales, 1979), et de Iannis Xenakis, il semble que le ton égalisé est le repère audible qui donne à identifier les autres intervalles. Exemple on entend distinctement la différence entre 1/3 de ton et 1/2 ton, entre 1/6e de ton et 1/4 de ton, entre 1/5e de ton et 1/7e de ton. Sachant que les 81 premiers intervalles de la série harmonique, et +, que nous tentons de distinguer aujourd'hui, étaient confondus ou regroupés par les Anciens en 7 familles ! [Lire ci-dessous : « Les Anciens assimilarisaient les différents intervalles de la série harmonique »].

* Comment l'intervalle rationnel 65/64 = 1,015625 peut être le « 13e partiel chromatique » ? Qu'est-ce que ça signifie ?

** Al Farâbi n'est pas non plus, comme les autres théoriciens de la musique qui laisse leur nom, musicien. Il enseigna à Bagdad ce qu'Aristote délia : physique, métaphysique et l'âme (ce qu'elle a d'intellect), pour reformer une unité (sic), même contradictoire, de cette triade, en insistant sur le caractère matériel de Dieu (sic), celle théologique pour renforcer le contenant, pour y sceller la croyance religieuse contenue. Mort à Alep en 950.

Remarquons

Aucune échelle construite à partir des intervalles de la série harmonique n'est strictement numériquement octaviante

 

SAUF 1 + 3 :

1. l'échelle du 51e harmonique 51/50 = 1,02 à 34,282983... cents
    qui à son 35e degré est à 0,1 cent près octaviante
    est l'échelle octaviante à 35 tons égalisée à 34,2857 cents : ³⁵√2 = 1,0200016094211991070738976384133

2. l'échelle du 87e harmonique 87/86 = 1,01162279... à 20,01... cents
    est l'échelle de 1/10e de ton égalisée à 20 cents : ⁶⁰√2 = 1,01161944030192248468...

3. l'échelle du 113e harmonique 113/112 = 1,00892857 142857.. à 15,38... cents
    est l'échelle de 1/13e de ton égalisée à 15,38 cents : ⁷⁸√2 = 1,0089261044979412419235679603889

4. l'échelle du 139e harmonique 139/138 = 1,007246376811594... à 12,49999... cents
    est l'échelle de 1/16e de ton égalisée à 12,5 cents : ⁹⁶√2 = 1,0072464122237038980903435690978...

 

Les autres sont prochoctaviantes ou quasi8viantes.
Les exceptions numériques nonoctaviantes qui à l'audition sonnent octaviantes sont :

5. l'échelle du 12e harmonique 12/11 = 1,090909.. à 150,6371... cents
est l'échelle octotonique à 3/4 de ton égalisé à 150 cents : ⁸√2 = 1,0905077326652576592070106557607...

6. l'échelle du 15e harmonique 15/14 = 1,071428... à 119,4428... cents
est l'échelle décatonique égalisée à 120 cents : ¹⁰√2 = 1,07177346253629316421...

7. l'échelle du 25e harmonique 25/24 = 1,041666.. à 70,6724... cents
est l'échelle heptadecatonique égalisée à 70,588 cents : ¹⁷√2 = 1,04161601065...

8. l'échelle du 28e harmonique 28/27 = 1,037037.. à 62,961... cents
est l'échelle nanodécatonique égalisée à 63,15... cents : ¹⁹√2 = 1,0371550444461919861387250255564...
Le 1/3 de ton enharmonique qu'Archytas (-430 -360) théoricien de l'Antiquité après Pythagore et avant Aristoxène a nommé de son nom

9. l'échelle du 38e harmonique 38/37 = 1,02702727272727.. à 46,169... cents à 0,4 cent près est octaviante
est l'échelle hexadodecatonique égalisée à 46,153... cents : ²⁶√2 = 1,0270180507087724374351709737521...

10. l'échelle du 48e harmonique 48/47 = 1,0212766... à 36,448... cents
est l'échelle tridecatritonique à 36,36.. cents : ³³√2 = 1,0212266063153640552478429581708...

11. l'échelle du 54e harmonique 54/53 = 1,0188679... à 32,36... cents
est l'échelle heptatridecatonique à 32,43 cents... : ³⁷√2 = 1,0189102844052507158056470162856...

12. l'échelle du 61e harmonique 61/60 = 1,016666.. à 28,616... cents à 1,2 cent près est octaviante
est l'échelle d'1/7e de ton égalisé de 28,57... cents : ⁴²√2 = 1,0166404393919355254466878281669...

13. l'échelle du 64e harmonique 64/63 = 1,015873015873015873015873015873... à 27,264... cents à 0,5 cent près est octaviante
est l'échelle tetradecatetratonique à 27,27.. cents : ⁴⁴√2 = 1,0158780831055514171291062494043...
Le comma septimal d'Archytas (encore lui), il est de Tarente aussi ?

14. l'échelle du 67e harmonique 67/66 = 1,01515… à 26,034... cents
est l'échelle hexadecatetratonique à 26,08... cents : ⁴⁶√2 = 1,0151825179503483521995901834987...

15. l'échelle du 74e harmonique 74/73 = 1,013698630 13698630 ... à 23,55... cents
est l'échelle monodecapentatonique à 23,53... cents : ⁵¹√2 = 1,0136839003226855356...
Qui est aussi le comma de Pythagore, parait-il.

16. l'échelle du 77e harmonique 77/76 = 1,01315... à 22,63... cents
est l'échelle tridecapentatonique à 22,64 cents : ⁵³√2 = 1,013164143024914708083...
Qui est aussi le comma du 53e de ton/8ve, parait-il.

17. l'échelle du 90e harmonique 90/89 = 1,01123595505617977... à 19,34... cents
est l'échelle duodecahexatonique à 19,35... cents : ⁶²√2 = 1,011242520665180707183491296385...

18. l'échelle du 100e harmonique 100/99 = 1,010101010101.. 0 17,399... cents
est l'échelle nonadecahexatonique à 17,391... cents : ⁶⁹√2 = 1,0100962378486082431828673634249

19. l'échelle du 103e harmonique 103/102 = 1,0098... à 16,890222... cents
est l'échelle monodecaheptatonique à 16,9... cents : ⁷¹√2 = 1,009810446337321249263954259938

20. l'échelle du 110e harmonique 110/109 = 1,0091743119266055045... à 15,81... cents
est l'échelle hexadecaheptatonique à 15,789... cents : ⁷⁶√2 = 1,0091620748294606685826912685591...

. etc.

 

En (se) forçant un peu fort (à assimilariser [ce qui n'est jamais bon])

. l'échelle du 70e harmonique 70/69 = 1,01449… à 24,91... cents
est l'échelle d'1/8e de ton égalisé à 25 cents : 48√2 = 1,0145453349375236414538678576...

 

 

REMARQUES CONCLUSIVES INTRODUCTIVES

Ces coïncidences montrent que les 2 domaines Q et R crus séparés sont en réalité liés.
Il est donc temps d'arrêter de s'arrêter à maltraiter les intervalles de JUSTES et d'INJUSTES.

Ce qu'on entend des intervalles de notre échelle chromatique égalisée, à part l'octave = 2, n'ont rien de commun avec les intervalles correspondants de la série harmonique. Pourtant si proches pour certains. On les nomme donc par leur source : soit harmonique-scalaire, soit scalaire-harmonique (oui, l'un devient l'inverse de l'autre ou son complément miroir). À jouer les 2 échelles en même temps sur le même instrument, selon la localisation de la note origine-diapason, on percevra un déphasage scalaire. Le phénomène audible du déphasage scalaire donne la preuve de la polyscalairité. Ou, tout déphasage scalaire donne à entendre qu'on se trouve dans une polyscalairité.

 

Il n'y a rien de nouveau à utiliser les intervalles de la série harmonique comme échelle.

Les anciens, depuis l'antiquité et avant notre ère, s'approprient ces intervalles en y apposant un nom. Mais savent-ils disposer une ou plusieurs échelles sur un instrument de musique pour pouvoir les jouer pour les entendre ? Avant Pythagore, on ne sait rien, car rien, de la pratique musicale, n'a été transmis. Mais on peut douter de cette pratique. Les théoriciens sont rarement des musiciens ou des luthiers. Construire et imposer un système n'est pas une pratique musicale. Le compositeur à la recherche de musiques originales, au contraire, s'efforce de s'échapper du système théorique imposé. C'est la raison d'inventer d'exister qui pour inventer à besoin de l'imagination qui a besoin de la liberté. Les rares musiciens originaux qui s'intéressent à la théorie de la musique depuis le XXe siècle ont l'objectif d'enrichir et de développer une base théorique suffisamment large pour diversifier la musique ou à ce que chacun puisse y trouver l'intérêt de son propre développement théorique.

Le passage de la monoscalairité à la polyscalairité se fait attendre depuis + d'1 siècle.

Pourquoi une théorie musicale de la polyscalairité ? Il s'agit de pouvoir identifier auditivement ce que les résultats de différents calculs donnent à distinguer. Une fois chaque intervalle distingué, identifié et reconnu, il n'y a aucune raison de s'interdire à entendre différentes échelles qui se métamorphoses se multiplient ou se raréfient, etc., dans la même musique.

Quand un musicien forme une théorie musicale, il ne fixe pas un système immuable avec des interdits,

tel un pouvoir autoritaire qui n'a aucune légitimité que son illégitimité, mais propose un antisystème antisystématique, ou un système souple mou avec des relations et des liens mobiles qui s'adaptent selon les contextes de la musique, avec une forte tendance générative, où chacune chacun peut développer la partie qui l'intéresse. Une théorie musicale devrait être non un système figé que les compositeurs à chaque génération transgressent, mais plusieurs champs ouverts aux métamorphoses pluriels pour obtenir une diversité d'identités sonores maximale.

Ce qui est nouveau,

c'est l'utilisation en même temps, de différents intervalles qui forment différentes échelles non multiples dans la même musiques, sans discrimination morale mal nommée esthétique pour favoriser quelques-uns et occulter tous les autres sous un dénominateur commun : « les étrangers condamnés interdits à entendre » (sic), autrement dit, « les fausses notes » (sic). Dans un champ polyscalaire, rien ne sonne faux.

Sachant que presque tous les intervalles scalairisés de la série harmonique,
4 octaviantes, 20 prochoctaviantes sur 140 nonoctaviantes, même la suite des 5tes de Pythagore,
forment numériquement des échelles nonoctaviantes,
Comment a-t-il été possible d'ignorer la nonoctaviation naturelle des échelles en 2600 ans de théorisation musicale ?

Sachant que :
L'art quantitatif des mathématiques est l'art de l'approximation dans l'infini
ou la volonté de rapprochement vers l'exactitude inatteignable.
Le calcul est un guide pour entendre les différences
qui par conditionnement sont devenues inaudibles.

[

remarques science et musique :

Beaucoup de scientifiques NON-MUSICIENS ce sont attachés à théoriser le système des hauteurs : de Pythagore (même Descartes !) à Helmholtz (même Euler) pour les + connus, chacun avec l'idéologie de donner une « harmonie consonante » (sic) = agréable à l'oreille et chasser la dissonance comme le « diabolus in musica » (sic). Il semble que les compositeurs du XXe siècle ont apporté un peu d'ouverture d'esprit et de bon sens dans cette opposition fermée consonante/dissonante, sachant qu'elle n'est qu'une évaluation morale contextuelle en fonction d'un conditionnement culturel, c'est-à-dire politique. Lire l'abaque : musique son bruit supportable insupportable. L'idéologie morale crue esthétique : consonant/dissonant fut anéantie par la réintroduction et la distinction des micro-intervalles. N'est-il pas curieux que l'introduction (la réutilisation) des micro-intervalles puisse ouvrir la fermeture d'esprit à sortir de querelles inutiles entre des opposants qui en réalité se complètent ? Sachant que les micro-intervalles sont utilisés depuis des millénaires par les musiciens de la protohistoire, avant notre ère.

Les Indiens (de l'Inde) réalisent une division de l'octave en 53 intervalles égaux pour jouer différentes versions de la division égalisée « exacte (toujours inexacte) » par 12 tons équidistants dans l'8ve. Idée reprise entre autres par les Hollandais Huygens et Fokker. Le XIXe siècle a vu un engouement (des Allemands et des Américains) à construire des claviers qui puissent donner toutes les versions possibles de l'échelle de 12 tons/8ve. Engouement qui s'est éteint avec la 2de guerre mondiale. Après guerre, les instruments électriques prennent la vedette et ensuite les synthétiseurs analogiques. En 1983 apparaît le protocole MIDI avec le 1er synthétiseur numérique.

L'âge de l'outil divisionnaire ?
Racines et fractions ?
Une preuve déterrée chez les Phéniciens du XIe siècle avant notre ère :
Des tablettes d'école montrant l'usage des racines cubiques.
Ça donne l'âge de la volonté de construire des échelles pour la musique.

À quel moment la science lâche la musique ?
À quel moment l'esprit scientifique lâche prise à la musique ?

Au moment de plonger instantanément dans le temps. C'est-à-dire : au moment de la composition musicale et du jeu instrumental. Le passage entre le « domaine hors-temps » de la théorie (= le calcul prédisposé à la prévision) ne fonctionne pas avec la fabrication de la musique du jeu « en-temps » dans l'instant. L'utilisation d'un nombre incalculable de paramètres appliqués à la musique dans l'instant est pour le musicien pratiqué par l'intuition. Sachant que la conduite intuitive de ses milliers de paramètres dans le temps est influencée par l'action du contexte, souvent inattendu, qui introduit de l'imprévu dans l'opération compositionnelle et le jeu instrumental, le musicien conduit sa création dans un champ toujours incertain. L'oeuvre musicale réussie est le résultat d'une adaptation intelligente du savoir vibrant dans un contexte de vibrations incertaines (ou inconnues). Le scientifique au contraire du musicien ne s'adapte pas à la variabilité permanente du contexte. En perçoit-il la vibration constante du monde ? Peu lui importe : la tradition aristotélicienne de la science est de prendre une distance avec le phénomène observé. Si le musicien prenait une distance avec la musique qu'il joue, il ne pourrait plus jouer, et il n'y aurait plus de musique. Le scientifique par sa distanciation ne « se risque » pas dans le temps de l'instant. Pourtant, c'est là, exactement là, que le savoir est. Le scientifique s'impose des « règles immuables hors-temps » croyant inclure la variabilité pour « prévoir le futur » en dehors du contexte. Le calcul des probabilités est un de ces aboutissements, bien que les résultats restent probables (considérons l'abus des sondages !). La science est plus attachée à l'astrologie, à la stratégie militaire qu'à « l'intuition de l'instant » à sonner la musique dans le bain vibratoire du monde vivant. Le scientifique se réfugie dans le temps linéaire t pour éviter l'instant mouvant inquantifiable. Le scientifique ne sait pas opérer sur l'instabilité permanente de l'instant vibrant. Est-ce que la « mécanique quantique » est une exception ? Avec le vivant quantifié et mécanique, c'est peu probable. L'agitation imprévisible du hasard régnant en opposition (en réaction ?) à l'idéologie de l'univers tranquille et prévisible ? N'a rien de scientifique. À s'encombrer de la peur, on s'empêche de savoir.

 

remarques historiques :

Il est intéressant de constater que chacun revendique la découverte de l'échelle de 12 tons dans une 8ve ! La théorie musicale occidentale comme les autres se réfère aux rapports d'intervalles de la série harmonique. Le Grec Pythagore à partir d'une corde, le Chinois Ling Lun à partir des tubes en bambou, et de leur côté les Arabes prennent l'intervalle harmonique 18/17 comme distance de l'index pour l'Oud (ūd = bois, sans barrette, fretless) renommé luth par les Européens (avec barrettes fixes : les barrettes mobiles faites en corde sont toujours en usage au Proche-Orient). Le Oud devenu Luth, fut introduit en Europe à la Renaissance. Il s'est transformé en guitare en Espagne (un corps résonnant qui se coince entre les jambes ou se pose sans glisser sur une cuisse contrairement à la forme ovoïde du luth). L'accord de la guitare s'opère de 4te en 4te, corde par corde, comme pour le tétracorde de la Grèce antique, mais au lieu de 2 tons mobiles à l'intérieurs, il a été inséré 3 tons fixes donnés par la distance des doigts, puis par la position de frettes (barrettes) fixées (distance allongée proportionnellement à l'allongement de la longueur de corde chevalet-sillet de la guitare par rapport au Oud-luth). Dans le processus de la scalérisation occidentale, ces tons aux positions relatives sont devenus des positions fixes (crues exactes) absolues (reste le portamento et la profondeur de la case qui tirent la corde pour compromettre sa justesse absolue) : le 1/2 ton chromatique tempéré (=> tolérance de sa mobilité) a abouti égalisé (=> intolérance de sa mobilité) au XXe siècle : ¹²√2 = 1,05946 pour 100 cents. Tous les instruments de musique de l'industrie et de l'artisanat en Ocicident sont accordés sur ce 1/2 ton fixe = 1,05946, mais pas en Orient ni au Proche Orient où la division de l'octave est relative et s'accorde au contexte. Ce qui nous différencie des 2 autres cultures indo-persanne et arabe est notre absolutisme : le calcul pour l'exactitude. Est une croyance. L'égalisation a effacé les subtilités. L'égalisation a faussé les intervalles d'origine harmonique. Ce que nous entendons juste est en réalité faux.

La barrette (frette) métallique permet une tenue (sustain) plus longue du son de la corde pincée. Nous avons donc un choix compromis par 2 choix obligés : soit la tenue-longue/barrettes-fixes ou soit la tenue-courte/barrettes-mobiles, ou manche-sans-barrettes (fretless). Bien que des solutions soient en élaboration : de frettes métalliques mobiles et de touche métallique sans frettes.

Le zéro fut introduit en Europe au XIVe siècle par les Arabes bien qu'il fut découvert par les Indiens d'Inde vers le VIIIe siècle. Et les nombres négatifs de Z (entiers relatifs) au XVIIIe siècle. Avant on calculait sans zéro ni découvert : ou l'introduction du manque dans le calcul (sic).

Toute la culture théorique occidentale de la musique est parvenue de l'Inde (dans l'état actuel de la connaissance au début di XXIe siècle) en étant transportée par les Tziganes reprise par les Perces puis les Arabes pour être amenée définitivement en Europe. Le principe de la musique tonale occidentale basée sur une tonique avec une dominante (le roi) et une sous-dominante (le ministre) est une conception indienne. Le fait que la musique européenne n'est retenue que 2 modes, le majeur (originairement nommé : dhira shankarābharanam) et le mineur sur 72 n'est pas encore élucidé.

 

regroupement familial

Les Anciens assimilarisaient les différents intervalles de la série harmonique
(des nombres entiers) par regroupement (arbitraire) :

. les 3 intervalles : 5/4, 6/5, 7/6 sont désignés être des 3ces !
. les 5 intervalles : 8/7, 9/8, 10/9, 11/10, 12/11 sont désignés être des tons !
. les 2 intervalles : 13/12, 14/13 sont désignés être des 2/3 de ton !
. les 11 intervalles : 15/14, 16/15, 17/16, 18/17, 19/18, 20/19, 21/20, 22/21, 23/22, 24/23, 25/24 sont désignés être des 1/2 tons !
. les 4 intervalles : 26/25, 27/26, 28/27, 29/28 sont désignés être des 1/3 de ton !
. les 10 intervalles : 30/29, 31/30, 32/31, 33/32, 34/33, 35/34, 36/35, 37/36, 38/37, 39/38 sont désignés être des 1/4 de ton !
. Tous les 42 intervalles au-delà, de 40/39 à 81/80, sont considérés être des dièses et des commas « impropres à la musique » (sic) !

Aujourd'hui, nous distinguons les intervalles non pour leur fonction dans la hiérarchie harmonique (à confondre le rang cardinal avec la quantité que représente le chiffre), mais par leurs sonorités. Depuis Claude Debussy. La volonté que tout intervalle soit l'altération de l'autre élu, n'existe plus. Depuis la reconnaissance des différences individuelles, il n'est plus possible de considérer des différences pour des similarités. La démarche d'Arnold Schoenberg, d'avoir individualisé chaque ton dans la série, a amorcé l'évasion scalaire de la domination d'une seule échelle élue. La monotonie de la musique monoscalaire en série est sue. La considération polyscalaire pour l'enrichissement de la palette compositionnelle à coïncider des différences scalaires dans la même musique, impulsée par Harry Partch et Ivan Wyschnegradsky, incite au développement des outils de composition, telle une étape supplémentaire à ce que les compositeurs de l'Ars Nova ont fondé : l'usage choral et orchestral de la polyphonie avec l'harmonie des accords. Aujourd'hui, l'harmonie polyscalaire des accords de tons et les différentes synthèses de sons se mêlent dans un ensemble de cohérences et de dépendances ou l'une agit sur l'identité sonique de l'autre. C'est ça, à quoi le compositeur d'aujourd'hui créateur d'inouïs, compose (dans la clandestinité).

Par dessus ça, une théorisation des possibles audibles ne se sert plus du jugement moral qui se fait passer pour de l'appréciation esthétique. Les notions de consonance agréable et de dissonance désagréable n'a plus sa raison d'être mentionné, puisque nous savons, avec des sons « épouvantables » (sic) faire des musiques jouissives. Le jugement esthétique relatif intervenant dans la théorie musicale a été balayé d'un coup quand on a publié le tableau de 512 possibilités d'accordances de tolérances intolérables ou d'intolérances tolérables entre musique, son et bruit désignés supportables, insupportables, agréables, désagréables, indifférents, merveilleux, jouissifs, frustrants.

[musique.sons.bruit.pdf]

]

L'étendue instrumentale maximale d'un piano couvre 84 notes/touches +4 ou celle d'un orgue est de 7 octaves + 4 tons (7x8ves+3ce.M), voire 8. Le multiple pour 7 octaves est : 128 dans la suite des rapports de 1 à 10 octaves = {2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ; 1024}. Dans le monde du MIDI (musical instrument digital interface) depuis 1983, le nombre de notes disponibles est 128, ce qui correspond à 10 octaves dans la scalairité octaviante 12.

Chaque intervalle de la série harmonique scalairisé (à partir d'une corde tendue = ton : pour entendre 2 tons distincts) est spécifique :

La scalairisation met bout à bout le même intervalle pour obtenir une échelle (pour grimper dans l'écoute) :

Suite (échelle) des rapports de 5te : 3/2² = 2,25 ; 3/2³ = 3,375 ; 3/2⁴ = 5,0625 ; 3/2⁵ = 7,59375 ; 3/2⁶ = 11,3906 ; 3/2⁷ = 17,0859 ; 3/2⁸ = 25,6289 ; etc.
Suite (échelle) des rapports de 4te : 4/3² = 1,77.. ; 4/3³ = 2,37037 ; 4/3⁴ = 3,16049 ; etc.
Suite (échelle) des rapports de 3ce Majeure : 5/4² = 1,5625 ; 5/4³ = 1,95312 ; 5/4⁴ = 2,44141 ; etc.
Suite (échelle) des rapports de 3ce mineure : 6/5² = 1,44 ; 6/5³ = 1,728 ; 6/5⁴ = 2,0736 ; 6/5⁵ = 2,48832 ; etc.

Ici, pythagorisation de ces 4 suites numériques

Ensuite, c'est à partir du 7e harmonique, de son intervalle 7/6, qu'on obtient la 1ère échelle de la série :

On obtient les multiples d'un intervalle, pour obtenir son échelle, en appliquant l'opération puissance x/y^z :

7/6 = 1,166.. <=> 265,88 cents
7/6² = 1,3611.. <=> 533,727 cents
7/6³ = 1,587 962.. <=> 800,61 cents [6te mineure]
7/6⁴ = 1,8526... <=> 1067,46 cents
7/6⁵ = 2,16139... <=> 1334,35 cents
7/6⁶ = 2,5216... <=> 1601,2 cents
7/6⁷ = 2,9419... <=> 1868,09 cents
7/6⁸ = 3,4322... <=> 2134,96 cents
7/6⁹ = 4,004... <=> 2401,83 cents [double 8ve]
etc.

Jouer et entendre 60 échelles harmoniques extirpées
des intervalles de la série harmoniques (format .scl Scala)

Propriétés des échelles harmoniques :

 

Ces échelles (équidistantes : pléonasme)
extraites à partir des intervalles de la série harmonique
vont-elles agacer les Intonateurs Justes ?
ou concilier : Tempéreurs Ajusteurs, Egaliseurs Injusteurs et Intonateurs Rajusteurs, une fois pour toute ?

En musique, les opposés ne se haïssent pas, ils se complètent.

 

 

1. Pour l'instant ? : cycles inidentifiables. Historiquement le cycle est attaché à l'intervalle d'octave. Dans le champ polyscalaire nonoctaviant, le postulat de cet axiome disparait, ou postuler cet axiome est un contresens : à vouloir revendiquer la monoscalairité exceptionnelle dans le monde polyscalaire. Ce qui revient à vouloir imposer l'uniformité dans la diversité existente (sic).

Pour reconnaître un cycle dans une suite infinie, il faut reconnaître un recommencement, une répétition. Pour reconnaître, il faut connaitre et pour connaître, il faut identifier et distinguer puis, se familiariser avec le phénomène par l'apprentissage par la répétition. Au début, on perçoit les intervalles proches des intervalles familiers assimilarisés. Petit à petit on se détache de cette assimilarisation éduquée.

Nous sommes au début de l'exploration, à découvrir les inconnus qu'on n'identifie pas encore (sinon l'inconnu ne serait pas inconnaissable).

Ce qui nous reste est d'identifier les similitudes des différences à partir des intervalles familiers. Mais la similarisation se confond avec l'assimilation (culturelle, donnant l'assimilarisation), c'est-à-dire vouloir obtenir par la pédagogie l'indistinction des différences ou l'assimilarisation des différences par l'usage audible obéissant de la théorie fondée sur la hiérarchie. Une forme inacceptable d'obéissance politique et morale inhérente à la théorie musicale monoscalaire qui contredit la raison de la pratique musicale des différences et des inconnus à connaître. C'est pour cette raison que la monoscalairité laisse sa place à la polyscalairité, par ouverture d'esprit.

Cette exploration des intervalles est la base de la théorie générative, en changement constant, qu'est la théorie polyscalaire des champs (incluant la polymodalité et la polygammie) est une des solutions pour ouvrir nos états d'esprit à « aiguiser » notre entente et à pouvoir distinguer les différences volontairement ignorées.

Répondre à la question : pourquoi cette ignorance volontaire ? nous emmène dans des révélations pénibles pour les croyants que j'ai déjà développées ailleurs.

2. Pour chacune des échelles harmoniques, on arrête la suite des intervalles (l'addition du même) aux alentour de 1200 cents (au-dessus) histoire de vérifier l'octaviation qui pour les échelles nonoctaviantes est un gage de véridicité.

3. Le cent, contrairement aux rapports (de la forme x/y et x/y^z et x/y^1/z = ^z√x) ne se multiplie pas, mais s'additionne.

4. Les rapports intervallaires nonoctaviants sont exponentiels ou logarithmiques, c'est-à-dire que le rapport 2 est inexistant dans le monde nonoctaviant ou coïncidant. Les rapports dans les tranchées des différentes octaves sont toujours différents.

5. En + de ses intervalles propres à son échelle, les intervalles obtenus de l'intervalle superposé forment à leur tour d'autres échelles multiples de l'intervalle source, tel que nous l'avons fait avec les échelles divisant le ton égalisé ici : 10.1.html.

échelle du 7e harmonique 7/6

0: 1
1: 266,87... cents
2: 533,74... cents
3: 800,61... cents [6te mineur]
4: 1067,48... cents 4,4965561056 degrés / 8ve
5: 1334,35... cents
6: 1601,225... cents [double 6te mineur]
7: 1868,096... cents
8: 2134,967... cents
9: 2401,84... cents [double 8ve à 2 cents près !]
...

N'est-ce pas formidable ! la 1ère échelle harmonique (strictement équidistante) de la série est double octaviante !
Ça commence avec une conciliation entre Adeptes de l'Octaviation et Adeptes de la Nonoctaviation, dans la double 8viation !
Ce qui incite à générer toute une famille d'échelles doubloctaviantes de 184 membres : ^z√4 avec z = 9, 10, 11, ... 192.
Audible avec instrument MIDI : Echelle.267.doubloctaviante.du.7e.harmonique.scl
Ce qui incite à générer toute une famille d'échelles triploctaviantes de 276 membres : ^z√8 avec z = 13, 14, 15, ... 288.
etc.
Audible avec instrument MIDI : Echelle.277.triploctaviante.de.13.degres.scl

Les échelles doubles, triples, quadruples octaviantes sont-elles des échelles quasi-cycliques ? Non, elles répètent au moins 2 fois leur cycle dans le champ audible. Par contre les échelles quintuples, sextuples octaviantes le sont.

 

échelle du 8e harmonique 8/7

0: 1
1: 231,17 cents
2: 462,34 cents
3: 693,52 cents [proche 5te à 7 cents près]
4: 924,69 cents
5: 1155,87 cents 5,1908930697 / 8ve
6: 1387,04 cents
...

play'n listen the 8th harmonic equal scale

échelle du 9e harmonique 9/8

0: 1
1: 203,91 cents
2: 407,82 cents
3: 611,73 cents
4: 815,64 cents
5: 1019,55 cents 5,8849491924 degrés / 8ve
6: 1223,46 cents
...

Une « gamme par ton » nonoctaviante.

play'n listen the 9th harmonic equal scale

échelle du 10e harmonique 10/9

0: 1
1: 182,41 cents
2: 364,81 cents
3: 547,21 cents
4: 729,61 cents
5: 912,01 cents
6: 1094,42 cents 6,578813479 degrés / 8ve
7: 1276,82 cents
...

play'n listen the 10th harmonic equal scale

échelle du 11e harmonique 11/10

0: 1
1: 165,01 cents
2: 330,01 cents
3: 495,01 cents
4: 660,01 cents
5: 825,02 cents
6: 990,02 cents
7: 1155,02 cents 7,2725408973 degrés / 8ve
8: 1320,03 cents
...

play'n listen the 11th harmonic equal scale

échelle du 12e harmonique 12/11

0: 1
1: 150,63 cents
2: 301,27 cents
3: 451,91 cents
4: 602,54 cents
5: 753,18 cents
6: 903,82 cents
7: 1054,46 cents 7,9661672363 degrés / 8ve
8: 1205,09 cents [proche 8ve] à 5 cents près
...

Une 3/4 de ton nonoctaviante

play'n listen the 12th harmonic equal scale

échelle du 13e harmonique 13/12

0: 1
1: 138,57 cents
2: 277,14 cents
3: 415,71 cents
4: 554,29 cents
5: 692,86 cents
6: 831,43 cents
7: 970,01 cents
8: 1108,58 cents 8,6597168025 degrés / 8ve
9: 1247,15 cents
...

play'n listen the 13th harmonic equal scale

échelle du 14e harmonique 14/13

0: 1
1: 128,29 cents
2: 256,59 cents
3: 384,89 cents
4: 513,19 cents
5: 641,49 cents
6: 769,78 cents
7: 898,08 cents
8: 1026,38 cents
9: 1154,68 cents 9,353206685 degrés / 8ve
10: 1282,98 cents
...

play'n listen the 14th harmonic equal scale

échelle du 15e harmonique 15/14

0: 1
1: 119,44 cents
2: 238,88 cents
3: 358,32 cents
4: 477,77 cents
5: 597,21 cents
6: 716,65 cents
7: 836,11 cents
8: 955,54 cents
9: 1074,98 cents
10: 1194,42 cents [proche 8ve] à 6 cents près 10,0466492497 degrés / 8ve
11: 1313,87 cents
...

Une échelle « décatonique » nonoctaviante

play'n listen the 15th harmonic equal scale

échelle du 16e harmonique 16/15

0: 1
1: 111,73 cents
2: 223,46 cents
3: 335,19 cents
4: 446,92 cents
5: 558,65 cents
6: 670,38 cents
7: 782,11 cents
8: 893,85 cents
9: 1005,58 cents
10: 1117,31 cents 10,7400536663 degrés / 8ve
11: 1229,04 cents
...

play'n listen the 16th harmonic equal scale

échelle du 17e harmonique 17/16

0: 1
1: 104,95 cents
2: 209,91 cents
3: 314,86 cents
4: 419,82 cents
5: 524,77 cents
6: 629,73 cents
7: 734,68 cents
8: 839,64 cents
9: 944,59 cents
10: 1049,55 cents
11: 1154,51 cents 11,4334268783 degrés / 8ve
12: 1259,46 cents
...

Une échelle dodécatonique nonoctaviante

play'n listen the 17th harmonic equal scale

échelle du 18e harmonique 18/17

0: 1
1: 98,95 cents
2: 197,91 cents
3: 296,86 cents
4: 395,81 cents
5: 494,77 cents
6: 593,72 cents
7: 692,68 cents
8: 791,63 cents
9: 890,59 cents
10: 989,54 cents
11: 1088,51 cents
12: 1187,45 cents [prochoctave à 13 cents près. + que 12 cents] 12,1267742401 degrés / 8ve
13: 1286,41 cents
...

Une autre échelle dodécatonique nonoctaviante

play'n listen the 18th harmonic equal scale

échelle du 19e harmonique 19/18

0: 1
1: 93,61 cents
2: 187,21 cents
3: 280,81 cents
4: 374,41 cents
5: 468,01 cents
6: 561,61 cents
7: 655,22 cents
8: 748,82 cents
9: 842,42 cents
10: 936,03 cents
11: 1029,63 cents
12: 1123,23 cents 12,8200999473 degrés / 8ve
13: 1216,83 cents [approche l'8ve à 16 cents près. 1/16e de ton égalisé a 12 cents. 12 cents peut être une limite ou pas. 1217 cents n'est pas une 8ve.]
...

play'n listen the 19th harmonic equal scale

échelle du 20e harmonique 20/19

0: 1
1: 88,81 cents
2: 177,61 cents
3: 266,41 cents
4: 355,21 cents
5: 444,01 cents
6: 532,81 cents
7: 621,61 cents
8: 710,41 cents [5te à + 10,41 cents]
9: 799,21 cents [6te mineure à 0,79 cent]
10: 888,01 cents
11: 976,81 cents
12: 1065,61 cents
13: 1154,41 cents 13,513407334 degrés / 8ve
14: 1243,21 cents
...

Une échelle tetradecatonique nonoctaviante ou nanotonique dans une 6te mineure

play'n listen the 20th harmonic equal scale

échelle du 21e harmonique 21/20

0: 1
1: 84,46 cents
2: 168,93 cents
3: 253,41 cents
4: 337,86 cents
5: 422,33 cents
6: 506,81 cents [proche 4te à 6 cents près]
7: 591,27 cents
8: 675,73 cents
9: 760,21 cents
10: 844,67 cents
11: 929,13 cents
12: 1013,61 cents
13: 1098,07 cents
14: 1182,54 cents [proche 8ve à 8 cents près] 14,2066990829 degrés / 8ve
15: 1267,01 cents
...

Une autre échelle tetradecatonique nonoctaviante ou hexatonique dans une 4te nonoctaviante

play'n listen the 21th harmonic equal scale

échelle du 22e harmonique 22/21

0: 1
1: 80,53 cents
2: 161,07 cents
3: 241,61 cents
4: 322,14 cents
5: 402,68 cents [proche 3ce majeure à 3 cents près]
6: 483,22 cents
7: 563,75 cents
8: 644,29 cents
9: 724,83 cents
10: 805,37 cents [proche 6te mineure à 5 cents près]
11: 885,90 cents
12: 966,44 cents
13: 1046,98 cents
14: 1127,51 cents 14,8999773775 degrés / 8ve
15: 1208,05 cents [prochoctave à 8 cents près]
...

Une échelle pentadecatonique nonoctaviante ou decatonique dans une 6te mineure nonoctaviante ou pentatonique dans une 3ce majeure nonoctaviante

play'n listen the 22th harmonic equal scale

échelle du 23e harmonique 23/22

0: 1
1: 76,95 cents
2: 153,91 cents
3: 230,86 cents
4: 307,82 cents [proche 3ce mineure à 8 cents près]
5: 384,78 cents
6: 461,73 cents
7: 538,69 cents
8: 615,65 cents
9: 692,60 cents [proche 5te à 7,4 cents près]
10: 769,56 cents
11: 846,52 cents
12: 923,47 cents
13: 1000,43 cents [proche 7e mineure à 0,43 cent près]
14: 1077,39 cents
15: 1154,34 cents 15,5932440127 degrés / 8ve
16: 1231,31 cents
...

play'n listen the 23th harmonic equal scale

échelle du 24e harmonique 24/23

0: 1
1: 73,68 cents
2: 147,36 cents
3: 221,04 cents
4: 294,72 cents [proche 3ce mineure à 5,3 cents près]
5: 368,41 cents
6: 442,08 cents
7: 515,76 cents
8: 589,44 cents
9: 663,12 cents
10: 736,81 cents
11: 810,48 cents [proche 6te mineure à 10,48 cents près]
12: 884,16 cents
13: 957,84 cents
14: 1031,53 cents
15: 1105,21 cents [proche 7e majeure à 5,21 cents près]
16: 1178,89 cents 16,2865004776 degrés / 8ve
17: 1252,57 cents
...

play'n listen the 24th harmonic equal scale

échelle du 25e harmonique 25/24

0: 1
1: 70,67 cents
2: 141,34 cents
3: 212,01 cents
4: 282,69 cents
5: 353,36 cents
6: 424,03 cents
7: 494,71 cents [proche 4te à 5,29 cents près]
8: 565,37 cents
9: 636,05 cents
10: 706,72 cents [proche 5te à 6,72 cents près]
11: 777,39 cents
12: 848,06 cents
13: 918,74 cents
14: 989,41 cents [proche 7e mineure à 10,59 cents près]
15: 1060,08 cents
16: 1130,75 cents 16,9797480183 degrés / 8ve
17: 1201,43 cents [proche 8ve à 1,4 cents près]
...

play'n listen the 25th harmonic equal scale

échelle du 26e harmonique 26/25 = 1,04

0: 1
1: 67,91 cents
2: 135,81 cents
3: 203,71 cents [proche ton égalisé à 3,7 cents près]
4: 271,61 cents
5: 339,51 cents
6: 407,41 cents [proche 3ce majeure à 7,4 cents près]
7: 475,31 cents
8: 543,21 cents
9: 611,11 cents [proche 4te + à 11,11 cents près]
10: 679,01 cents
11: 746,91 cents
12: 814,81 cents
13: 882,71 cents
14: 950,61 cents
15: 1018,51 cents
16: 1086,41 cents
17: 1154,31 cents 17,6729876851 degrés / 8ve
18: 1222,21 cents
...

play'n listen the 26th harmonic equal scale

échelle du 27e harmonique 27/26

0: 1
1: 65,33 cents
2: 130,67 cents
3: 196,01 cents [proche ton égalisé à 3,9 cents près]
4: 261,34 cents
5: 326,68 cents
6: 392,02 cents [proche 3ce majeure à 7,8 cents près]
7: 457,36 cents
8: 522,69 cents
9: 588,03 cents
10: 653,37 cents
11: 718,71 cents
12: 784,04 cents
13: 849,38 cents
14: 914,72 cents
15: 980,06 cents
17: 1110,73 cents [proche 7e majeure à 10,73 cents près]
18: 1176,07 cents 18,3662203698 degrés / 8ve
19: 1241,40 cents
...

play'n listen the 27th harmonic equal scale

échelle du 28e harmonique 28/27 l'échelle d'Archytas d'1/3 de ton

0: 1
1: 62,96 cents
2: 125,92 cents
3: 188,88 cents
4: 251,84 cents
5: 314,81 cents
6: 377,76 cents
7: 440,72 cents
8: 503,68 cents [proche 4te à 3,68 cents près]
9: 566,64 cents
10: 629,61 cents
11: 692,57 cents [proche 5te à 7,43 cents près]
12: 755,53 cents
13: 818,49 cents
14: 881,45 cents
15: 944,41 cents
16: 1007,37 cents [proche 7e mineure 7,37 cents près]
17: 1070,33 cents
18: 1133,29 cents
19: 1196,25 cents [proche 8ve à 4 cents près] 19,0594468342 degrés / 8ve
20: 1259,21 cents
...

Une échelle nonadecatonique nonoctaviante qui ne se répètent pas

play'n listen the 28th harmonic equal scale

échelle du 29e harmonique 29/28

0: 1
1: 60,75 cents
2: 121,51 cents
3: 182,25 cents
4: 243,01 cents
5: 303,75 cents [proche 3ce mineure à 3,75 cents près]
6: 364,51 cents
7: 425,25 cents
8: 486,01 cents
9: 546,76 cents
10: 607,51 cents [proche 4te + à 7,51 cents près]
11: 668,26 cents
12: 729,01 cents
13: 789,76 cents
14: 850,51 cents
15: 911,26 cents [proche 6te majeure à 11,26 cents près]
16: 972,02 cents
17: 1032,77 cents
18: 1093,52 cents
19: 1154,27 cents 19,7526677334 degrés / 8ve
20: 1215,02 cents [proche 8ve à 15 cents près]
...

Une échelle duodecatonique nonoctaviante qui ne se répètent pas

play'n listen the 29th harmonic equal scale

échelle du 30e harmonique 30/29

0: 1
1: 58,69 cents
2: 117,38 cents
3: 176,07 cents
4: 234,76 cents
5: 293,45 cents
6: 352,14 cents
7: 410,84 cents [proche 3ce majeure à 10,84 cents près]
8: 469,53 cents
9: 528,22 cents
10: 586,91 cents
11: 645,61 cents
12: 704,29 cents [proche 5te à 4,29 cents près]
13: 762,99 cents
14: 821,68 cents
15: 880,37 cents
16: 939,06 cents
17: 997,75 cents [proche 7e mineure à 2,25 cents près]
18: 1056,44 cents
19: 1115,13 cents
20: 1173,83 cents 20,4458836336 degrés / 8ve
21: 1232,52 cents
...

play'n listen the 30th harmonic equal scale

échelle du 31e harmonique 31/30

0: 1
1: 56,76 cents
2: 113,53 cents
3: 170,31 cents
4: 227,06 cents
5: 283,83 cents
6: 340,61 cents
7: 397,36 cents [proche 3ce majeure à 2,74 cents près]
8: 454,13 cents
9: 510,91 cents [proche 4te à 10,91 cents près]
10: 567,66 cents
11: 624,43 cents
12: 681,21 cents
13: 737,96 cents
14: 794,73 cents [proche 6te mineure à 5,27 cents près]
15: 851,51 cents
16: 908,27 cents [proche 6te majeure à 8,27 cents près]
17: 965,03 cents
18: 1021,81 cents
19: 1078,57 cents
20: 1135,33 cents
21: 1192,11 cents [proche 8ve à 8 cents près] 21,1390950266 degrés / 8ve
22: 1248,87 cents
...

Une échelle à 21 tons nonoctaviants ou qui ne se répètent pas

play'n listen the 31th harmonic equal scale

échelle du 32e harmonique 32/31 du 1/4 de ton enharmonic grec antique

0: 1
1: 54,96 cents
2: 109,92 cents
3: 164,89 cents
4: 219,85 cents
5: 274,82 cents
6: 329,78 cents
7: 384,75 cents
8: 439,71 cents
9: 494,68 cents [proche 4te à 6 cents près]
10: 549,64 cents
11: 604,61 cents [proche 4te+ à 4 cents près]
12: 659,57 cents
13: 714,53 cents
14: 769,51 cents
15: 824,46 cents
16: 879,43 cents
17: 934,39 cents
18: 989,36 cents [proche 7e mineure à 10,64 cents près]
19: 1044,32 cents
20: 1099,28 cents
21: 1154,25 cents 21,8323023417 degrés / 8ve
22: 1209,21 cents [proche 8ve à 9 cents près]
...

Une échelle à 22 tons nonoctaviants ou qui ne se répètent pas

play'n listen the 32th harmonic equal scale

échelle du 33e harmonique 33/32 du 1/4 de ton d'Al-Fârâbî

0: 1
1: 53,27 cents
2: 106,54 cents [proche du 1/2 ton égalisé à 6,54 cents près]
3: 159,81 cents
4: 213,09 cents
5: 266,36 cents
6: 319,63 cents
7: 372,91 cents
8: 426,18 cents
9: 479,45 cents
10: 532,72 cents
11: 586,01 cents
12: 639,27 cents
13: 692,54 cents [proche 5te à 7,46 cents près]
14: 745,82 cents
15: 799,09 cents [proche 6te mineure à 0,01 cent près]
16: 852,36 cents
17: 905,64 cents [proche 6te majeure à 5,64 cents près]
18: 958,91 cents
19: 1012,18 cents
20: 1065,45 cents
21: 1118,73 cents
22: 1172,01 cents 22,5255059555 degrés / 8ve
23: 1225,27 cents
...

play'n listen the 33th harmonic equal scale

échelle du 34e harmonique 34/33

0: 1
1: 51,68 cents
2: 103,36 cents [proche du 1/2 ton égalisé à 3,36 cents près]
3: 155,04 cents
4: 206,73 cents
5: 258,41 cents
6: 310,09 cents
7: 361,77 cents
8: 413,46 cents
9: 465,14 cents
10: 516,82 cents
11: 568,50 cents
12: 620,19 cents
13: 671,87 cents
14: 723,55 cents
15: 775,23 cents
16: 826,91 cents
17: 878,60 cents
18: 930,28 cents
19: 981,96 cents
20: 1033,64 cents
21: 1085,33 cents
22: 1137,01 cents
23: 1188,69 cents [8ve + 12,5 cents ou + 1/16e de ton] 23,2187061996 degrés / 8ve
24: 1240,37 cents
...

play'n listen the 34th harmonic equal scale

échelle du 35e harmonique 35/34

0: 1
1: 50,18 cents
2: 100,36 cents [proche du 1/2 ton égalisé à 0,36 cents près]
3: 150,55 cents
4: 200,73 cents [proche du ton égalisé à 0,73 cents près]
5: 250,92 cents
6: 301,11 cents [proche 3ce mineure à 1,11 cents près]
7: 351,28 cents
8: 401,47 cents [proche 3ce majeure à 1,47 cents près]
9: 451,65 cents
10: 501,84 cents [proche 4te à 1,84 cents près]
11: 552,02 cents
12: 602,21 cents [proche 4te+ à 2,21 cents près]
13: 652,39 cents
14: 702,57 cents [proche 5te à 2,57 cents près]
15: 752,76 cents
16: 802,94 cents [proche 6te mineure à 2,94 cents près]
17: 853,13 cents
18: 903,31 cents [proche 6te majeure à 3,31 cents près]
19: 953,51 cents
20: 1003,68 cents [proche 7e mineure à 3,68 cents près]
21: 1053,86 cents
22: 1104,05 cents [proche 7e majeure à 4,05 cents près]
23: 1154,23 cents 23,9119033670 degrés / 8ve
24: 1204,42 cents [proche 8ve à 4 cents près]
...

Echelle 1/4 de ton nonoctaviante

play'n listen the 35th harmonic equal scale

échelle du 36e harmonique 36/35

0: 1
1: 48,77 cents
2: 97,54 cents [proche du 1/2 ton égalisé à 2,46 cents près]
3: 146,31 cents
4: 195,08 cents [proche du ton égalisé à 4,82 cents près]
5: 243,85 cents
6: 292,62 cents [proche 3ce mineure à 7,38 cents près]
7: 341,39 cents
8: 390,16 cents [proche 3ce majeure à 9,84 cents près]
9: 438,93 cents
10: 487,71 cents
11: 536,47 cents
12: 585,24 cents
13: 634,01 cents
14: 682,78 cents
15: 731,55 cents
16: 780,32 cents
17: 829,09 cents
18: 877,86 cents
19: 926,63 cents
20: 975,41 cents
21: 1024,17 cents
22: 1072,94 cents
23: 1121,71 cents
24: 1170,48 cents 24,6050977177 degrés / 8ve
25: 1219,26 cents
...

play'n listen the 36th harmonic equal scale

échelle du 37e harmonique 37/36

0: 1
1: 47,43 cents
2: 94,86 cents [proche du 1/2 ton égalisé à 3,14 cents près]
3: 142,31 cents
4: 189,73 cents
5: 237,17 cents
6: 284,61 cents
7: 332,03 cents
8: 379,47 cents
9: 426,91 cents
10: 474,34 cents
11: 521,77 cents
12: 569,20 cents
13: 616,64 cents
14: 664,07 cents
15: 711,51 cents [proche 5te à 11,51 cents près]
16: 758,94 cents
17: 806,37 cents [proche 6te mineure à 6,37 cents près]
18: 853,81 cents
19: 901,24 cents [proche 6te majeure à 1,24 cent près]
20: 948,68 cents
21: 996,11 cents [proche 7e mineure à 3,89 cents près]
22: 1043,54 cents
23: 1090,98 cents
24: 1138,41 cents
25: 1185,85 cents 25,2982894834 degrés / 8ve
26: 1233,28 cents
...

play'n listen the 37th harmonic equal scale

échelle du 38e harmonique 38/37

0: 1
1: 46,16 cents
2: 92,33 cents [proche du 1/2 ton égalisé à 7,67 cents près]
3: 138,51 cents
4: 184,67 cents
5: 230,84 cents
6: 277,01 cents
7: 323,18 cents
8: 369,35 cents
9: 415,52 cents
10: 461,69 cents
11: 507,85 cents[proche 4te égalisée à 7,85 cents près]
12: 554,02 cents
13: 600,19 cents [proche 4te+ égalisée à 0,19 cent près]
14: 646,36 cents
15: 692,53 cents [proche 5te égalisée à 7,47 cents près]
16: 738,71 cents
17: 784,87 cents
18: 831,04 cents
19: 877,21 cents
20: 923,38 cents
21: 969,54 cents
22: 1015,71 cents
23: 1061,88 cents
24: 1108,05 cents [proche 7e majeure à 8,05 cents près]
25: 1154,22 cents 25,9914788709 degrés / 8ve
26: 1200,39 cents [8ve à 0,39 cents]
...

L'échelle du 38e harmonique peut-elle être considérée comme une échelle quasi 8viante ou 8viante à 26 degrés ?
Tout dépend toujours du contexte. Il n'y a pas de réponse univoque à cette question.

play'n listen the 38th harmonic equal scale

échelle du 39e harmonique 39/38

0: 1
1: 44,97 cents
2: 89,94 cents
3: 134,91 cents
4: 179,88 cents
5: 224,85 cents
6: 269,82 cents
7: 314,79 cents
8: 359,75 cents
9: 404,72 cents [proche 3ce majeure à 4,72 cents près]
10: 449,69 cents
11: 494,66.. cents [proche 4te à 3,84 cents près]
12: 539,63 cents
13: 584,61 cents
14: 629,57 cents
15: 674,54 cents
16: 719,51 cents
17: 764,48 cents
18: 809,45 cents [proche 6te mineure à 9,45 cents près]
19: 854,42 cents
20: 899,39 cents [proche 6te majeure à 0,61 cent près]
21: 944,36 cents
22: 989,33 cents
23: 1034,31 cents
24: 1079,27 cents
25: 1124,24 cents
26: 1169,21 cents 26,6846660655 degrés / 8ve
27: 1214,18 cents [8ve + 14 cents]
...

play'n listen the 39th harmonic equal scale

échelle du 40e harmonique 40/39

0: 1
1: 43,83 cents
2: 87,66 cents
3: 131,49 cents
4: 175,32 cents
5: 219,15 cents
6: 262,98 cents
7: 306,81 cents [proche 3ce mineure à 6,81 cents près]
8: 350,65 cents
9: 394,48 cents [proche 3ce majeure à 5,52 cents près]
10: 438,31 cents
11: 482,14 cents
12: 525,97 cents
13: 569,80 cents
14: 613,63 cents
15: 657,46 cents
16: 701,29 cents [proche 5te à 1,29 cents près]
17: 745,13 cents
18: 788,96 cents
19: 832,79 cents
20: 876,62 cents
21: 920,45 cents
22: 964,28 cents
23: 1008,11 cents [proche 7e mineure à 8,11 cents près]
24: 1051,94 cents
25: 1095,77 cents [proche 7e majeure à 4,23 cents près]
26: 1139,61 cents
27: 1183,43 cents [8ve + 16,5 cents] 27,3778512338 degrés / 8ve
28: 1227,27 cents
...

play'n listen the 40th harmonic equal scale

échelle du 41e harmonique 41/40

0: 1
1: 42,749 cents
2: 85,497 cents
3: 128,246 cents
4: 170,995 cents
5: 213,743 cents
6: 256,492 cents
7: 299,241 cents
8: 341,990 cents
9: 384,738 cents
10: 427,487 cents
11: 470,236 cents
12: 512,984 cents
13: 555,733 cents
14: 598,482 cents
15: 641,230 cents
16: 683,979 cents
17: 726,728 cents
18: 769,476 cents
19: 812,225 cents
20: 854,974 cents
21: 897,723 cents
22: 940,471 cents
23: 983,220 cents
24: 1025,969 cents
25: 1068,717 cents
26: 1111,466 cents
27: 1154,215 cents
28: 1196,963 cents [proche 8ve à 3 cents près] 28,0710345259 degrés / 8ve
29: 1239,712 cents
...

 

échelle du 42e harmonique 42/41

0: 1
1: 41,719 cents
2: 83,437 cents
3: 125,156 cents
4: 166,874 cents
5: 208,593 cents
6: 250,311 cents
7: 292,030 cents
8: 333,748 cents
9: 375,467 cents
10: 417,185 cents
11: 458,904 cents
12: 500,622 cents
13: 542,341 cents
14: 584,059 cents
15: 625,778 cents
16: 667,496 cents
17: 709,215 cents [proche 5te à 9 cents près]
18: 750,933 cents
19: 792,652 cents
20: 834,370 cents
21: 876,089 cents
22: 917,807 cents
23: 959,526 cents
24: 1001,244 cents
25: 1042,963 cents
26: 1084,681 cents
27: 1126,400 cents
28: 1168,118 cents 28,7642160775 degrés / 8ve
29: 1209,837 cents [proche 8ve] à 9 cents près
...

 

échelle du 43e harmonique 43/42

0: 1
1: 40,737 cents
2: 81,474 cents
3: 122,210 cents
4: 162,947 cents
5: 203,684 cents
6: 244,421 cents
7: 285,158 cents
8: 325,894 cents
9: 366,631 cents
10: 407,368 cents
11: 448,105 cents
12: 488,842 cents
13: 529,578 cents
14: 570,315 cents
15: 611,052 cents
16: 651,789 cents
17: 692,526 cents [proche 5te] à 8 cents près
18: 733,262 cents
19: 773,999 cents
20: 814,736 cents
21: 855,473 cents
22: 896,210 cents
23: 936,946 cents
24: 977,683 cents
25: 1018,420 cents
26: 1059,157 cents
27: 1099,894 cents
28: 1140,630 cents
29: 1181,367 cents [proche 8ve] à 18,6 cents près 29,4573960115 degrés / 8ve
30: 1222,104 cents
...

 

échelle du 44e harmonique 44/43

0: 1
1: 39,8... cents
2: 79,6... cents
3: 119,4... cents
4: 159,2... cents
5: 199,... cents
6: 238,8... cents
7: 278,6... cents
8: 318,4... cents
9: 358,2... cents
10: 398,... cents
11: 437,8... cents
12: 477,6... cents
13: 517,4... cents
14: 557,2... cents
15: 597,... cents
16: 636,8... cents
17: 676,6... cents
18: 716,4.... cents
19: 756,2... cents
20: 796,... cents
21: 835,8... cents
22: 875,6... cents
23: 915,4... cents
24: 955,2... cents
25: 995,... cents
26: 1034,8... cents
27: 1074,6... cents
28: 1114,4... cents
29: 1154,2... cents
30: 1194,... cents [proche 8ve à 6 cents près] 30,1505744394 degrés / 8ve
31: 1233,8... cents
...

 

échelle du 45e harmonique 45/44

0: 1
1: 38,91 cents
2: 77,81 cents
3: 116,71 cents
4: 155,62 cents
5: 194,53 cents
6: 233,43 cents
7: 272,34 cents
8: 311,24 cents
9: 350,15 cents
10: 389,06 cents
11: 427,96 cents
12: 466,87 cents
13: 505,77 cents [proche 4te à 5 cents près]
14: 544,68 cents
15: 583,58 cents
16: 622,49 cents
17: 661,39 cents
18: 700,31 cents [proche 5te à 0,3 cent près]
19: 739,21 cents
20: 778,11 cents
21: 817,02 cents
22: 855,92 cents
23: 894,83 cents
24: 933,74 cents
25: 972,64 cents
26: 1011,55 cents
27: 1050,45 cents
28: 1089,36 cents
29: 1128,26 cents
30: 1167,17 cents 30,8437514628 degrés / 8ve
31: 1206,08 cents [proche 8ve à 6 cents près]
...

 

échelle du 46e harmonique 46/45

0: 1
1: 38,05 cents
2: 76,11 cents
3: 114,15 cents
4: 152,21 cents
5: 190,25 cents
6: 228,31 cents
7: 266,35 cents
8: 304,40 cents
9: 342,45 cents
10: 380,51 cents
11: 418,55 cents
12: 456,60 cents
13: 494,65 cents
14: 532,71 cents
15: 570,75 cents
16: 608,81 cents
17: 646,86 cents
18: 684,91 cents
19: 722,96 cents
20: 761,01 cents
21: 799,06 cents
22: 837,11 cents
23: 875,16 cents
24: 913,21 cents
25: 951,26 cents
26: 989,31 cents
27: 1027,36 cents
28: 1065,41 cents
29: 1103,46 cents
30: 1141,51 cents
31: 1179,57 cents 31,5369271743 degrés / 8ve
32: 1217,62 cents [8ve + 17 cents]
...

 

échelle du 47e harmonique 47/46

0: 1
1: 37,23 cents
2: 74,46 cents
3: 111,69 cents
4: 148,92 cents
5: 186,16 cents
6: 223,39 cents
7: 260,62 cents
8: 297,85 cents
9: 335,09 cents
10: 372,32 cents
11: 409,55 cents
12: 446,78 cents
13: 484,02 cents
14: 521,25 cents
15: 558,48 cents
16: 595,71 cents
17: 632,94 cents
18: 670,18 cents
19: 707,41 cents [proche 5te à 7 cents près]
20: 744,64 cents
21: 781,87 cents
22: 819,11 cents
23: 856,34 cents
24: 893,57 cents
25: 930,81 cents
26: 968,03 cents
27: 1005,27 cents
28: 1042,50 cents
29: 1079,73 cents
30: 1116,96 cents
31: 1154,21 cents
32: 1191,43 cents [proche 8ve à 9 cents près] 32,2301016585 degrés / 8ve
33: 1228,66 cents
...

 

échelle du 48e harmonique 48/47

0: 1
1: 36,44 cents
2: 72,89 cents
3: 109,34 cents
4: 145,79 cents
5: 182,24 cents
6: 218,69 cents
7: 255,13 cents
8: 291,58 cents
9: 328,03 cents
10: 364,48 cents
11: 400,93 cents
12: 437,38 cents
13: 473,82 cents
14: 510,27 cents
15: 546,72 cents
16: 583,17 cents
17: 619,62 cents
18: 656,07 cents
19: 692,51 cents
20: 728,96 cents
21: 765,41 cents
22: 801,86 cents
23: 838,31 cents
24: 874,76 cents
25: 911,21 cents
26: 947,65 cents
27: 984,11 cents
28: 1020,55 cents
29: 1057,01 cents
30: 1093,45 cents
31: 1129,91 cents
32: 1166,34 cents 32,923274993 degrés / 8ve
33: 1202,79 cents [proche 8ve à 3 cents près]
...

 

échelle du 49e harmonique 49/48

0: 1
1: 35,69 cents
2: 71,39 cents
3: 107,09 cents
4: 142,78 cents
5: 178,48 cents
6: 214,18 cents
7: 249,87 cents
8: 285,57 cents
9: 321,27 cents
10: 356,96 cents
11: 392,66 cents
12: 428,36 cents
13: 464,05 cents
14: 499,75 cents
15: 535,45 cents
16: 571,14 cents
17: 606,84 cents
18: 642,54 cents
19: 678,23 cents
20: 713,93 cents
21: 749,63 cents
22: 785,33 cents
23: 821,02 cents
24: 856,72 cents
25: 892,42 cents
26: 928,11 cents
27: 963,81 cents
28: 999,51 cents
29: 1035,20 cents
30: 1070,90 cents
31: 1106,60 cents
32: 1142,29 cents
33: 1177,99 cents 33,6164472489 degrés / 8ve
34: 1213,69 cents [proche 8ve] à 13 cents près
...

 

échelle du 50e harmonique 50/49

0: 1
1: 34,97 cents
2: 69,95 cents
3: 104,92 cents
4: 139,91 cents
5: 174,87 cents
6: 209,85 cents
7: 244,82 cents
8: 279,81 cents
9: 314,78 cents
10: 349,75 cents
11: 384,73 cents
12: 419,71 cents
13: 454,68 cents
14: 489,65 cents
15: 524,63 cents
16: 559,61 cents
17: 594,58 cents
18: 629,56 cents
19: 664,53 cents
20: 699,51 cents [proche 5te] à 1 cents près
21: 734,48 cents
22: 769,46 cents
23: 804,43 cents
24: 839,41 cents
25: 874,39 cents
26: 909,36 cents
27: 944,34 cents
28: 979,31 cents
29: 1014,29 cents
30: 1049,26 cents
31: 1084,24 cents
32: 1119,22 cents
33: 1154,19 cents
34: 1189,17 cents [proche 8ve] à 11 cents près 34,3096184915 degrés / 8ve
35: 1224,14 cents
...

 

échelle du 51e harmonique 51/50

0: 1
1: 34,28 cents
2: 68,56 cents
3: 102,84 cents
4: 137,13 cents
5: 171,41 cents
6: 205,69 cents
7: 239,98 cents
8: 274,26 cents
9: 308,54 cents
10: 342,83 cents
11: 377,11 cents
12: 411,39 cents
13: 445,67 cents
14: 479,96 cents
15: 514,24 cents
16: 548,52 cents
17: 582,81 cents
18: 617,09 cents
19: 651,37 cents
20: 685,66 cents
21: 719,94 cents
22: 754,22 cents
23: 788,51cents
24: 822,79 cents
25: 857,07 cents
26: 891,35 cents
27: 925,64 cents
28: 959,92 cents
29: 994,21 cents
30: 1028,48 cents
31: 1062,77 cents
32: 1097,05 cents
33: 1131,33 cents
34: 1165,62 cents
35: 1199,91 cents [8ve] à 0,1 cents près 35,0027887811 degrés / 8ve l'échelle du 51e harmonique est OCTAVIANTE
36: 1234,18 cents
...

 

échelle du 52e harmonique 52/51 (33,61725140352 x 36 = 1210,22105052672 cents ou 8,432327 savarts)

0: 1
1: 33,617 cents
2: 67,235 cents
3: 100,852 cents
4: 134,469 cents
5: 168,086 cents
6: 201,704 cents
7: 235,321 cents
8: 268,938 cents
9: 302,555 cents
10: 336,173 cents
11: 369,790 cents
12: 403,407 cents
13: 437,024 cents
14: 470,642 cents
15: 504,259 cents
16: 537,876 cents
17: 571,493 cents
18: 605,111 cents
19: 638,728 cents
20: 672,345 cents
21: 705,962 cents
22: 739,580 cents
23: 773,197 cents
24: 806,814 cents
25: 840,431 cents
26: 874,049 cents
27: 907,666 cents
28: 941,283 cents
29: 974,900 cents
30: 1008,518 cents
31: 1042,135 cents
32: 1075,752 cents
33: 1109,369 cents
34: 1142,987 cents
35: 1176,604 cents 35,6959581733 degrés / 8ve
36: 1210,221 cents [proche 8ve] à 10 cents près
...

 

échelle du 53e harmonique 53/52 (32,97688370653 x 37 = 1220,14469714161 cents ou 8,271702 savarts)

0: 1
1: 32,977 cents
2: 65,954 cents
3: 98,931 cents
4: 131,908 cents
5: 164,884 cents
6: 197,861 cents
7: 230,838 cents
8: 263,815 cents
9: 296,792 cents
10: 329,769 cents
11: 362,746 cents
12: 395,723 cents
13: 428,699 cents
14: 461,676 cents
15: 494,653 cents
16: 527,630 cents
17: 560,607 cents
18: 593,584 cents
19: 626,561 cents
20: 659,538 cents
21: 692,515 cents
22: 725,491 cents
23: 758,468 cents
24: 791,445 cents
25: 824,422 cents
26: 857,399 cents
27: 890,376 cents
28: 923,353 cents
29: 956,330 cents
30: 989,307 cents
31: 1022,283 cents
32: 1055,260 cents
33: 1088,237 cents
34: 1121,214 cents
35: 1154,191 cents
36: 1187,168 cents 36,3891267192 degrés / 8ve
37: 1220,145 cents
...

 

échelle du 54e harmonique 54/53 (32,36045712032 x 38 = 1229,69737057216 cents ou 8,117081 savarts)

0: 1
1: 32,360 cents
2: 64,721 cents
3: 97,081 cents
4: 129,442 cents
5: 161,802 cents
6: 194,163 cents
7: 226,523 cents
8: 258,884 cents
9: 291,244 cents
10: 323,605 cents
11: 355,965 cents
12: 388,325 cents
13: 420,686 cents
14: 453,046 cents
15: 485,407 cents
16: 517,767 cents
17: 550,128 cents
18: 582,488 cents
19: 614,849 cents
20: 647,209 cents
21: 679,570 cents
22: 711,930 cents
23: 744,291 cents
24: 776,651 cents
25: 809,011 cents
26: 841,372 cents
27: 873,732 cents
28: 906,093 cents
29: 938,453 cents
30: 970,814 cents
31: 1003,174 cents
32: 1035,535 cents
33: 1067,895 cents
34: 1100,256 cents
35: 1132,616 cents
36: 1164,976 cents
37: 1197,337 cents 37,0822944663 degrés / 8ve [proche 8ve] à 3 cents près
38: 1229,697 cents
...

 

échelle du 55e harmonique 55/54 (31,76665363343 x 38 = 1207,13283807034 cents ou 7,968136 savarts)

0: 1
1: 31,767 cents
2: 63,533 cents
3: 95,300 cents
4: 127,067 cents
5: 158,833 cents
6: 190,600 cents
7: 222,367 cents
8: 254,133 cents
9: 285,900 cents
10: 317,667 cents
11: 349,433 cents
12: 381,200 cents
13: 412,966 cents
14: 444,733 cents
15: 476,500 cents
16: 508,266 cents
17: 540,033 cents
18: 571,800 cents
19: 603,566 cents
20: 635,333 cents
21: 667,100 cents
22: 698,866 cents
23: 730,633 cents
24: 762,400 cents
25: 794,166 cents
26: 825,933 cents
27: 857,700 cents
28: 889,466 cents
29: 921,233 cents
30: 953,000 cents
31: 984,766 cents
32: 1016,533 cents
33: 1048,300 cents
34: 1080,066 cents
35: 1111,833 cents
36: 1143,600 cents
37: 1175,366 cents 37,7754614587 degrés / 8ve
38: 1207,133 cents [proche 8ve] à 7 cents près
...

 

échelle du 56e harmonique 56/55 (31,19425023953 x 39 = 1216,57575934167 cents ou 7,824558 savarts)

0: 1
1: 31,194 cents
2: 62,389 cents
3: 93,583 cents
4: 124,777 cents
5: 155,971 cents
6: 187,166 cents
7: 218,360 cents
8: 249,554 cents
9: 280,748 cents
10: 311,943 cents
11: 343,137 cents
12: 374,331 cents
13: 405,525 cents
14: 436,720 cents
15: 467,914 cents
16: 499,108 cents
17: 530,302 cents
18: 561,497 cents
19: 592,691 cents
20: 623,885 cents
21: 655,079 cents
22: 686,274 cents
23: 717,468 cents
24: 748,662 cents
25: 779,856 cents
26: 811,051 cents
27: 842,245 cents
28: 873,439 cents
29: 904,633 cents
30: 935,828 cents
31: 967,022 cents
32: 998,216 cents
33: 1029,410 cents
34: 1060,605 cents
35: 1091,799 cents
36: 1122,993 cents
37: 1154,187 cents
38: 1185,382 cents 38,4686277370 degrés / 8ve
39: 1216,576 cents
...

 

échelle du 57e harmonique 57/56 (30,64211052856 x 40 = 1225,6844211424 cents ou 7,686063 savarts)

0: 1
1: 30,642 cents
2: 61,284 cents
3: 91,926 cents
4: 122,568 cents
5: 153,211 cents
6: 183,853 cents
7: 214,495 cents
8: 245,137 cents
9: 275,779 cents
10: 306,421 cents
11: 337,063 cents
12: 367,705 cents
13: 398,347 cents
14: 428,990 cents
15: 459,632 cents
16: 490,274 cents
17: 520,916 cents
18: 551,558 cents
19: 582,200 cents
20: 612,842 cents
21: 643,484 cents
22: 674,126 cents
23: 704,769 cents
24: 735,411 cents
25: 766,053 cents
26: 796,695 cents
27: 827,337 cents
28: 857,979 cents
29: 888,621 cents
30: 919,263 cents
31: 949,905 cents
32: 980,548 cents
33: 1011,190 cents
34: 1041,832 cents
35: 1072,474 cents
36: 1103,116 cents
37: 1133,758 cents
38: 1164,400 cents
39: 1195,042 cents 39,1617933393 degrés / 8ve [proche 8ve] à 5 cents près
40: 1225,684 cents
...

 

échelle du 58e harmonique 58/57 (30,10917715540 x 40 = 1204,367086216 cents ou 7,552385 savarts)

0: 1
1: 30,109 cents
2: 60,218 cents
3: 90,328 cents
4: 120,437 cents
5: 150,546 cents
6: 180,655 cents
7: 210,764 cents
8: 240,873 cents
9: 270,983 cents
10: 301,092 cents
11: 331,201 cents
12: 361,310 cents
13: 391,419 cents
14: 421,528 cents
15: 451,638 cents
16: 481,747 cents
17: 511,856 cents
18: 541,965 cents
19: 572,074 cents
20: 602,184 cents
21: 632,293 cents
22: 662,402 cents
23: 692,511 cents
24: 722,620 cents
25: 752,729 cents
26: 782,839 cents
27: 812,948 cents
28: 843,057 cents
29: 873,166 cents
30: 903,275 cents
31: 933,384 cents
32: 963,494 cents
33: 993,603 cents
34: 1023,712 cents
35: 1053,821 cents
36: 1083,930 cents
37: 1114,040 cents
38: 1144,149 cents
39: 1174,258 cents 39,8549583008 degrés / 8ve
40: 1204,367 cents [proche 8ve] à 4 cents près
...

 

échelle du 59e harmonique 59/58 (29,59446508112 x 41 = 1213,37306832592 cents ou 7,423278 savarts)

0: 1
1: 29,594 cents
2: 59,189 cents
3: 88,783 cents
4: 118,378 cents
5: 147,972 cents
6: 177,567 cents
7: 207,161 cents
8: 236,756 cents
9: 266,350 cents
10: 295,945 cents
11: 325,539 cents
12: 355,134 cents
13: 384,728 cents
14: 414,323 cents
15: 443,917 cents
16: 473,511 cents
17: 503,106 cents
18: 532,700 cents
19: 562,295 cents
20: 591,889 cents
21: 621,484 cents
22: 651,078 cents
23: 680,673 cents
24: 710,267 cents
25: 739,862 cents
26: 769,456 cents
27: 799,051 cents
28: 828,645 cents
29: 858,239 cents
30: 887,834 cents
31: 917,428 cents
32: 947,023 cents
33: 976,617 cents
34: 1006,212 cents
35: 1035,806 cents
36: 1065,401 cents
37: 1094,995 cents
38: 1124,590 cents
39: 1154,184 cents
40: 1183,779 cents 40,5481226544 degrés / 8ve
41: 1213,373 cents [proche 8ve] à 13 cents près
...

 

échelle du 60e harmonique 60/59 (29,09705549601 x 42 = 1222,07633083242 cents ou 7,298511 savarts)

0: 1
1: 29,097 cents
2: 58,194 cents
3: 87,291 cents
4: 116,388 cents
5: 145,485 cents
6: 174,582 cents
7: 203,679 cents
8: 232,776 cents
9: 261,873 cents
10: 290,971 cents
11: 320,068 cents
12: 349,165 cents
13: 378,262 cents
14: 407,359 cents
15: 436,456 cents
16: 465,553 cents
17: 494,650 cents
18: 523,747 cents
19: 552,844 cents
20: 581,941 cents
21: 611,038 cents
22: 640,135 cents
23: 669,232 cents
24: 698,329 cents
25: 727,426 cents
26: 756,523 cents
27: 785,620 cents
28: 814,718 cents
29: 843,815 cents
30: 872,912 cents
31: 902,009 cents
32: 931,106 cents
33: 960,203 cents
34: 989,300 cents
35: 1018,397 cents
36: 1047,494 cents
37: 1076,591 cents
38: 1105,688 cents
39: 1134,785 cents
40: 1163,882 cents
41: 1192,979 cents 41,2412864307 degrés / 8ve [proche 8ve] à 8 cents près
42: 1222,076 cents
...

 

échelle du 61e harmonique 61/60 (28,61609034524 cents x 42 = 1201,87579450008 cents ou 7,177869 savarts)

0: 1
1: 28,616 cents
2: 57,232 cents
3: 85,848 cents
4: 114,464 cents
5: 143,080 cents
6: 171,697 cents
7: 200,313 cents
8: 228,929 cents
9: 257,545 cents
10: 286,161 cents
11: 314,777 cents
12: 343,393 cents
13: 372,009 cents
14: 400,625 cents
15: 429,241 cents
16: 457,857 cents
17: 486,474 cents
18: 515,090 cents
19: 543,706 cents
20: 572,322 cents
21: 600,938 cents [proche 4te+] à 1 cents près
22: 629,554 cents
23: 658,170 cents
24: 686,786 cents
25: 715,402 cents
26: 744,018 cents
27: 772,634 cents
28: 801,251 cents
29: 829,867 cents
30: 858,483 cents
31: 887,099 cents
32: 915,715 cents
33: 944,331 cents
34: 972,947 cents
35: 1001,563 cents
36: 1030,179 cents
37: 1058,795 cents
38: 1087,411 cents
39: 1116,028 cents
40: 1144,644 cents
41: 1173,260 cents 41,9344496583 degrés / 8ve
42: 1201,876 cents [proche 8ve] à 2 cents près OCTAVIANTE
...

 

échelle du 62e harmonique 62/61 (28,15076738879 x 43 = 1210,48299771797 cents ou 7,061151 savarts)

0: 1
1: 28,151 cents
2: 56,302 cents
3: 84,452 cents
4: 112,603 cents
5: 140,754 cents
6: 168,905 cents
7: 197,055 cents
8: 225,206 cents
9: 253,357 cents
10: 281,508 cents
11: 309,658 cents
12: 337,809 cents
13: 365,960 cents
14: 394,111 cents
15: 422,262 cents
16: 450,412 cents
17: 478,563 cents
18: 506,714 cents
19: 534,865 cents
20: 563,015 cents
21: 591,166 cents
22: 619,317 cents
23: 647,468 cents
24: 675,618 cents
25: 703,769 cents
26: 731,920 cents
27: 760,071 cents
28: 788,221 cents
29: 816,372 cents
30: 844,523 cents
31: 872,674 cents
32: 900,825 cents [proche 6te majeur] à 1 cent près
33: 928,975 cents
34: 957,126 cents
35: 985,277 cents
36: 1013,428 cents
37: 1041,578 cents
38: 1069,729 cents
39: 1097,880 cents
40: 1126,031 cents
41: 1154,181 cents
42: 1182,332 cents 42,6276123641 degrés / 8ve
43: 1210,483 cents [proche 8ve] à 10 cents près
...

 

échelle du 63e harmonique 63/62 (27,70033573565 x 44 = 1218,8147723686 cents ou 6,948168 savarts)

0: 1
1: 27,700 cents
2: 55,401 cents
3: 83,101 cents
4: 110,801 cents
5: 138,502 cents
6: 166,202 cents
7: 193,902 cents
8: 221,603 cents
9: 249,303 cents
10: 277,003 cents
11: 304,704 cents
12: 332,404 cents
13: 360,104 cents
14: 387,805 cents
15: 415,505 cents
16: 443,205 cents
17: 470,906 cents
18: 498,606 cents
19: 526,306 cents
20: 554,007 cents
21: 581,707 cents
22: 609,407 cents
23: 637,108 cents
24: 664,808 cents
25: 692,508 cents
26: 720,209 cents
27: 747,909 cents
28: 775,609 cents
29: 803,310 cents
30: 831,010 cents
31: 858,710 cents
32: 886,411 cents
33: 914,111 cents
34: 941,811 cents
35: 969,512 cents
36: 997,212 cents
37: 1024,912 cents
38: 1052,613 cents
39: 1080,313 cents
40: 1108,013 cents
41: 1135,714 cents
42: 1163,414 cents
43: 1191,114 cents 43,320774573 degrés / 8ve [proche 8ve] à 9 cent près
44: 1218,815 cents
...

 

échelle du 64e harmonique 64/63 (27,26409180010 x 45 = 1226,8841310045 ou 6,838743 savarts)

0: 1
1: 27,264 cents
2: 54,528 cents
3: 81,792 cents
4: 109,056 cents
5: 136,320 cents
6: 163,585 cents
7: 190,849 cents
8: 218,113 cents
9: 245,377 cents
10: 272,641 cents
11: 299,905 cents
12: 327,169 cents
13: 354,433 cents
14: 381,697 cents
15: 408,961 cents
16: 436,225 cents
17: 463,490 cents
18: 490,754 cents
19: 518,018 cents
20: 545,282 cents
21: 572,546 cents
22: 599,810 cents [très proche 4te+] à 0,2 cent près
23: 627,074 cents
24: 654,338 cents
25: 681,602 cents
26: 708,866 cents
27: 736,130 cents
28: 763,395 cents
29: 790,659 cents
30: 817,923 cents
31: 845,187 cents
32: 872,451 cents
33: 899,715 cents
34: 926,979 cents
35: 954,243 cents
36: 981,507 cents
37: 1008,771 cents
38: 1036,035 cents
39: 1063,300 cents
40: 1090,564 cents
41: 1117,828 cents
42: 1145,092 cents
43: 1172,356 cents
44: 1199,620 cents 44,0139363085 degrés / 8ve [très proche 8ve] à 0,5 cent près OCTAVIANTE
45: 1226,884 cents
...

 

échelle du 65e harmonique 65/64 (26,84137563415 x 45 = 1207,86190353675 cents ou 6,732712 savarts)

0: 1
1: 26,841 cents
2: 53,683 cents
3: 80,524 cents
4: 107,366 cents
5: 134,207 cents
6: 161,048 cents
7: 187,890 cents
8: 214,731 cents
9: 241,572 cents
10: 268,414 cents
11: 295,255 cents
12: 322,097 cents
13: 348,938 cents
14: 375,779 cents
15: 402,621 cents
16: 429,462 cents
17: 456,303 cents
18: 483,145 cents
19: 509,986 cents
20: 536,828 cents
21: 563,669 cents
22: 590,510 cents
23: 617,352 cents
24: 644,193 cents
25: 671,034 cents
26: 697,876 cents
27: 724,717 cents
28: 751,559 cents
29: 778,400 cents
30: 805,241 cents
31: 832,083 cents
32: 858,924 cents
33: 885,765 cents
34: 912,607 cents
35: 939,448 cents
36: 966,290 cents
37: 993,131 cents
38: 1019,972 cents
39: 1046,814 cents
40: 1073,655 cents
41: 1100,496 cents
42: 1127,338 cents
43: 1154,179 cents
44: 1181,021 cents 44,7070975928 degrés / 8ve
45: 1207,862 cents [proche 8ve] à 8 cents près
...

 

échelle du 66e harmonique 66/65 (26,43156759600 cents x 46 = 1215,852109416 cents ou 6,629918 savarts)

0: 1
1: 26,432 cents
2: 52,863 cents
3: 79,295 cents
4: 105,726 cents
5: 132,158 cents
6: 158,589 cents
7: 185,021 cents
8: 211,453 cents
9: 237,884 cents
10: 264,316 cents
11: 290,747 cents
12: 317,179 cents
13: 343,610 cents
14: 370,042 cents
15: 396,474 cents
16: 422,905 cents
17: 449,337 cents
18: 475,768 cents
19: 502,200 cents
20: 528,631 cents
21: 555,063 cents
22: 581,494 cents
23: 607,926 cents
24: 634,358 cents
25: 660,789 cents
26: 687,221 cents
27: 713,652 cents
28: 740,084 cents
29: 766,515 cents
30: 792,947 cents
31: 819,379 cents
32: 845,810 cents
33: 872,242 cents
34: 898,673 cents
35: 925,105 cents
36: 951,536 cents
37: 977,968 cents
38: 1004,400 cents
39: 1030,831 cents
40: 1057,263 cents
41: 1083,694 cents
42: 1110,126 cents
43: 1136,557 cents
44: 1162,989 cents
45: 1189,421 cents [proche 8ve à 11 cents près] 45,4002584463 degrés / 8ve
46: 1215,852 cents [8ve + 15 cents]
...

 

...

échelle du 72e harmonique 72/71
rapport :
1,0140845070422535211267605633803
intervalle en cents :
24,21345832516 cents
nombre de degrés dans l'8ve :
49,56 tons/8ve (2 <=> 1200 cents)
détection de l'ambitus proche 8ve pour sa division entière :
24,21345832516 x 50 = 1210,672916258
24,21345832516 x 49 = 1186,45945793284

 

...

échelle du 77e harmonique (proche du comma de 53 tons par 8ve)
rapport :
1,0131578947368421052631578947368
intervalle en cent :
22,63083270158 cents
nombre de degrés dans l'8ve :
1200 / 22,63083270158 = 53,025004241943801444731143000201/8ve
détection de l'ambitus proche 8ve pour sa division entière :
22,63083270158 x 53 = 1199,43413318374
22,63083270158 x 54 = 1222,06496588532

 

...

 

échelle du 137e harmonique 137/136 (12,68309005222 cents x 95 = 1204,8935549609 cents)

0: 1
1: 12.683 cents
2: 25.366 cents
3: 38.049 cents
4: 50.732 cents
5: 63.415 cents
6: 76.099 cents
7: 88.782 cents
8: 101.465 cents [proche 1/2 ton à 1 cents près]
9: 114.148 cents
10: 126.831 cents
11: 139.514 cents
12: 152.197 cents
13: 164.880 cents
14: 177.563 cents
15: 190.246 cents
16: 202.929 cents [proche ton à 2 cents près]
17: 215.613 cents
18: 228.296 cents
19: 240.979 cents
20: 253.662 cents
21: 266.345 cents
22: 279.028 cents
23: 291.711 cents
24: 304.394 cents [proche 3ce mineure à 4 cents près]
25: 317.077 cents
26: 329.760 cents
27: 342.443 cents
28: 355.127 cents
29: 367.810 cents
30: 380.493 cents
31: 393.176 cents
32: 405.859 cents [proche 3ce majeure à 5 cents près]
33: 418.542 cents
34: 431.225 cents
35: 443.908 cents
36: 456.591 cents
37: 469.274 cents
38: 481.957 cents
39: 494.641 cents [proche 4te à 5 cents près]
40: 507.324 cents
41: 520.007 cents
42: 532.690 cents
43: 545.373 cents
44: 558.056 cents
45: 570.739 cents
46: 583.422 cents
47: 596.105 cents [proche 4te+ à 4 cents près]
48: 608.788 cents
49: 621.471 cents
50: 634.155 cents
51: 646.838 cents
52: 659.521 cents
53: 672.204 cents
54: 684.887 cents
55: 697.570 cents [proche 5te à 2,5 cents près]
56: 710.253 cents
57: 722.936 cents
58: 735.619 cents
59: 748.302 cents
60: 760.985 cents
61: 773.668 cents
62: 786.352 cents
63: 799.035 cents [proche 6te mineure] à 1 cents près
64: 811.718 cents
65: 824.401 cents
66: 837.084 cents
67: 849.767 cents
68: 862.450 cents
69: 875.133 cents
70: 887.816 cents
71: 900.499 cents [proche 6te majeure à 0,5 cents près]
72: 913.182 cents
73: 925.866 cents
74: 938.549 cents
75: 951.232 cents
76: 963.915 cents
77: 976.598 cents
78: 989.281 cents
79: 1001.964 cents [proche 7e mineure à 2 cents près]
80: 1014.647 cents
81: 1027.330 cents
82: 1040.013 cents
83: 1052.696 cents
84: 1065.380 cents
85: 1078.063 cents
86: 1090.746 cents
87: 1103.429 cents [proche 7e majeure à 3 cents près]
88: 1116.112 cents
89: 1128.795 cents
90: 1141.478 cents
91: 1154.161 cents
92: 1166.844 cents
93: 1179.527 cents
94: 1192.210 cents [proche 8ve à 8 cents près] 94,614166978177100406887581555625 degréq /8ve
95: 1204.894 cents [proche 8ve à 4 cents près]

Courbe de rapprochement / éloignement de l'octaviation des échelles issues des intervalles de la suite harmonique

...

Si l'on considère que l'octaviation se réalise dans la marge : entre 1187,5 cents et 1212,5 cents (intervalle + et - 1/16e de ton autour de l'octave), nous avons des 66 premières échelles harmoniques : 29 échelles octaviantes et 30 échelles nonoctaviantes et où l'échelle du 34e harmonique est sur la frontière de la marge. Cette marge de tolérance (ou d'indifférenciation) est différente pour chacune et chacun et dépend du contexte où l'identification est possible ou pas. La mobilité de la marge de tolérance de l'accomplissement de l'octaviation (idée de la fusion des différences ou de l'indifférenciation) multiplie le nombre de considérations de ce qui est fusionné ou pas. Chacune et chacun tranchent à l'écoute à un certain moment. Mais ce jugement à l'écoute de la musique devient secondaire. L'identification fusionnelle et son contraire deviennent une opération compositionnelle supplémentaire.

Echelles harmoniques numériquement octaviantes* : 3
Echelles harmoniques numériquement nonoctaviantes : 55
Echelles harmoniques approximativement octaviantes (à + et - 12,5 cents) : 29
Echelles harmoniques approximativement nonoctaviantes (à + et - 12,5 cents) : 30

* on peut considérer une échelle harmonique numériquement octaviante quand son nombres de degrés correspond à un nombre tel que : x,00x.. et x,99x

Echelles harmoniques octaviantes dans la marge de tolérance de + ou - 12,5 cents autour de 1200 cents :

échelle du 12e harmonique : 7,966 degrés / 8ve : 150,63 cents harmonique
échelle du 15e harmonique : 10,046 degrés / 8ve : 119,44 cents harmonique
échelle du 21e harmonique : 14,206 degrés / 8ve : 84,46 cents harmonique
échelle du 22e harmonique : 14,899 degrés / 8ve : 80,53 cents harmonique
échelle du 25e harmonique : 16,979 degrés / 8ve : 70,67 cents harmonique
échelle du 28e harmonique : 19,059 degrés / 8ve : 62,96 cents harmonique
échelle du 31e harmonique : 21,139 degrés / 8ve : 56,76 cents harmonique
échelle du 32e harmonique : 21,832 degrés / 8ve : 54,96 cents harmonique
échelle du 35e harmonique : 23,912 degrés / 8ve : 50,18 cents harmonique
échelle du 38e harmonique : 25,991 degrés / 8ve : 46,16 cents harmonique : OCTAVIANTE numériquement
échelle du 41e harmonique : 28,071 degrés / 8ve : 42,75 cents harmonique
échelle du 42e harmonique : 28,764 degrés / 8ve : 41,72 cents harmonique
échelle du 44e harmonique : 30,151 degrés / 8ve : 39,8 cents harmonique
échelle du 45e harmonique : 30,843 degrés / 8ve : 38,91 cents harmonique
échelle du 47e harmonique : 32,231 degrés / 8ve : 37,23 cents harmonique
échelle du 48e harmonique : 32,923 degrés / 8ve : 36,44 cents harmonique
échelle du 50e harmonique : 34,309 degrés / 8ve : 34,97 cents harmonique
échelle du 51e harmonique : 35,002 degrés / 8ve : 34,28 cents harmonique : OCTAVIANTE numériquement
échelle du 52e harmonique : 35,696 degrés / 8ve : 33,62 cents harmonique
échelle du 54e harmonique : 37,082 degrés / 8ve : 32,36 cents harmonique
échelle du 55e harmonique : 37,775 degrés / 8ve : 31,76 cents harmonique
échelle du 57e harmonique : 39,161 degrés / 8ve : 30,64 cents harmonique
échelle du 58e harmonique : 39,855 degrés / 8ve : 30,11 cents harmonique
échelle du 60e harmonique : 41,241 degrés / 8ve : 29,09 cents harmonique
à partir de cet intervalle la marge de tolérance se rapproche de sa moitié et donc de la zone d'octaviation considérée à + ou - 12,5 cents de 1200 cents
échelle du 61e harmonique : 41,934 degrés / 8ve : 28,61 cents harmonique : à 2 cents près OCTAVIANTE :
échelle du 62e harmonique : 42,627 degrés / 8ve : 28,15 cents harmonique :
échelle du 63e harmonique : 43,321 degrés / 8ve : 27,7 cents harmonique
échelle du 64e harmonique : 44,014 degrés / 8ve : 27,26 cents harmonique : OCTAVIANTE numériquement
échelle du 65e harmonique : 44,707 degrés / 8ve : 26,84 cents harmonique

Echelle harmonique à la frontière de la marge de tolérance considérée de + ou - 12,5 cents autour de 1200 cents :
échelle du 34e harmonique : 23,218 degrés / 8ve : 51,68 cents harmonique : 1200/23 = 52,1734 cents : 34/33 = 1,030.. 23√2 = 1,0306...

Echelle harmonique double octaviante :
échelle du 7e harmonique : 4,496 degrés / 8ve

Echelles harmoniques nonoctaviantes en dehors de + ou - 12,5 cents autour de 1200 cents :

échelle du 8e harmonique
échelle du 9e harmonique
échelle du 10e harmonique
échelle du 11e harmonique
échelle du 13e harmonique
échelle du 14e harmonique
échelle du 16e harmonique
échelle du 17e harmonique
échelle du 18e harmonique
échelle du 19e harmonique
échelle du 20e harmonique
échelle du 23e harmonique
échelle du 24e harmonique
échelle du 26e harmonique
échelle du 27e harmonique
échelle du 29e harmonique
échelle du 30e harmonique
échelle du 33e harmonique
échelle du 34e harmonique
échelle du 36e harmonique
échelle du 37e harmonique
échelle du 39e harmonique
échelle du 40e harmonique
échelle du 43e harmonique
échelle du 46e harmonique
échelle du 49e harmonique
échelle du 53e harmonique
échelle du 56e harmonique
échelle du 59e harmonique
échelle du 66e harmonique

Ce qu'elle considère octaviante et nonoctaviante : ... ?
Ce qu'il considère octaviante et nonoctaviante : ... ?

En fait :

La considération de l'octaviation, dans la multitude des degrés, devient accessoire à la focalisation

Et un point de repère à leur composition.

...

 

Courrier à l'auteur à propos de ces échelles harmoniques
Mail to the author concerning these harmonic equal scales

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