les échelles octaviantes qui ne se divisent

pas à partir du ton

 

Dans la continuité logique de l'exploration. Nous allons explorer le striage des coupures du temps (les échelles de hauteurs sont des échelles de temps exprimées en fréquences = par redondance d'impulsions), pour découvrir d'autres échelles nonoctaviantes qui ne se calculent pas à partir de la division du ton.

 

Ce qui nous intéresse dans cette recherche est de localiser les échelles asymétriques qui n’intègrent pas l’octave ainsi que de laisser les premiers intervalles gouffres de la série harmonique telle que 8ve, 5te, 4te, 3ce et 2de qui font masque aux intervalles plus subtils. Un équilibrage des préférences entre les « trous noirs absorbants » et les sensations masquées de la marginalité. Nous cherchons des échelles qui puissent nous faire percevoir d'autres sensations auditives à travers d’autres sonorités (couleurs du temps) : sans toucher à ce qui est connu tout en s'éloignant de ce qui est déjà connu et explorer au-delà.

 

exploration : du connu vers l'inconnu (2)

 

A LA RECHERCHE DES ECHELLES NONOCTAVIANTES [2] A TRAVERS

LES ECHELLES OCTAVIANTES QUI NE SE DIVISENT PAS PAR LE TON
ou l'absence de son intervalle formateur

 

 

Le ton est multiple de 6. (l'intervalle de ton est multiple d'une division par 6, 12, 18, 24, etc.)
1/16e, 1/15e, 1/14e, 1/13e, 1/12e, 1/11e, 1/10e et 1/9e de ton sont multiples de 6.

Les divisions équidistantes de l’octave qui ne divise pas l'intervalle de ton (directement) et sont non multiples de 6

tel que la suite des racines (diviseurs à la puissance) :

5 7 8 9 10 11 13 14 15 16 17 19 20 21 22 23 25 26 27 28 29 31 32 33 34 35 37 38 39 40 41 43 44 45 etc.


ne contenant pas ou ne comprenant pas la suite des racines (diviseurs à la puissance) :

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 106 112 etc.

qui divisent l'octave tel que :

6√2; 12√2; 18√2; 24√2; 30√2; 36√2; 42√2; 48√2; 54√2; 60√2; 66√2; 72√2; 78√2; 84√2; 90√2;96√2
et correspond à la division du ton de 1/2 à 1/16e de ton.

 

Relations entre les divisions entières de l'octave et les échelles multiples du ton qui ne les forment pas :

 

nombre de degrés paires
par cycle d'octave 		nombre de degrés impaires
par cycle d'octave 		nombre de degrés premiers
par cycle d'octave 		rapport en cent nommé par le ton  
    5 5√2 = 1,1487 240 6/5e de ton  
6         "gamme" par ton  
    7 7√2 = 1,10409 171,43 6/7e de ton  
8     8√2 = 1,09051 150 3/4 de ton  
  9   9√2 = 1,08006 133,33 10/15e de ton  
10     10√2 = 1,07177 120 3/5e de ton  
    11 11√2 = 1,06504 109,09 6/11e de ton  
12  




Z12 échelle chromatique

  
    13 13√2 = 1,05477 62,307... 6/13e de ton  
14     14√2 = 1,05076 85,714... 3/7e de ton  
  15   15√2 = 1,04729 80 2/5e de ton  
16     16√2 = 1,04427 75 3/8e de ton  
    17 17√2 = 1,04162 70,588... 6/17e de ton  
18         échelle de 1/3 de ton  
    19 19√2 = 1,03716 63,157... 6/19e de ton  
20     20√2 = 1,03526 60 3/10e de ton  
  21   21√2 = 1,03356 57,142... 2/7e de ton  
22     22√2 = 1,03201 54,54.. 3/11e de ton  
   

23

 23√2 = 1,0306 52,174... 6/23e de ton  
24         échelle de 1/4 de ton  
  25   25√2 = 1,02811 48 6/25e de ton  
26     26√2 = 1,02702 46,154... 3/13e de ton  
  27   27√2 = 1,026 44,44.. 2/9e de ton  
28     28√2 = 1,02506 42,857... 3/14e de ton  
    29 29√2 = 1,02419 41,379... 6/29e de ton  
30         échelle de 1/5e de ton  
    31 31√2 = 1,02261 38,71... 6/31e de ton  
32     32√2 = 1,0219 37,5 3/16e de ton  
  33   33√2 = 1,02123 36,36.. 2/11e de ton  
34     34√2 = 1,0206 35,29... 3/17e de ton  
  35   35√2 = 1,02 34,28... 6/35e de ton  
36         échelle de 1/6e de ton  
    37 37√2 = 1,01891 32,432... 6/37e de ton  
38     38√2 = 1,01841 31,578... 3/19e de ton  
  39   39√2 = 1,01793 30,769... 2/13e de ton  
40     40√2 = 1,01748 30 3/20e de ton  
    41 41√2 = 1,01705 29,268... 6/41e de ton
  
42         échelle de 1/7e de ton  
    43 43√2 = 1,01625 27,91...    
44     44√2 = 1,01588 27,27..    
  45   45√2 = 1,01552 26,66..    
46     46√2 = 1,01518 26,08...    
    47 47√2 = 1,01486 25,53...    
48         échelle de 1/8e de ton  
  49   49√2 = 1,01425 24,48...    
50     50√2 = 1,01396 24    
  51   51√2 = 1,01368 23,52...    
52     52√2 = 1,01342 23,07...    
    53 53√2 = 1,01316 22,64...    
54         échelle de 1/9e de ton  
  55   55√2 = 1,01268 21,81..    
56     56√2 = 1,01245 21,42...    
  57   57√2 = 1,01223 21,05...    
58     58√2 = 1,01202      
    59 59√2 = 1,01182      
60         échelle de 1/10e de ton  
    61 61√2 = 1,01143      
62     62√2 = 1,01124      
  63   63√2 = 1,01106      
64     64√2 = 1,01089      
  65

65√2 = 1,01072      
66         échelle de 1/11e de ton  
    67 67√2 = 1,0104      
68     68√2 = 1,01025      
  69   69√2 = 1,0101      
70     70√2 = 1,00995      
    71

 71√2 = 1,00981      
72         échelle de 1/12e de ton  
    73        
74            
  75          
76            
  77

       
78         échelle de 1/13e de ton  
    79        
80            
  81          
82            
    83        
84         échelle de 1/14e de ton  
  85          
86            
  87          
88            
    89        
90         échelle de 1/15e de ton  
  91          
92            
  93          
94            
  95          
96         échelle de 1/16e de ton  
    97        
98            
  99          
100            
    101        
102         échelle de 1/17e de ton  
    103        
104            
  105          
106            
    107        
108         échelle de 1/18e de ton  
    109        
110            
  111          
112            
    113        
114         échelle de 1/19e de ton  
  115          
116            
  117          
118            
  119          
120         échelle de 1/20e de ton  

 

Remarques

. Toutes les échelles qui divisent l'octave retrouvent des sous-multiples du ton : c'est l'avantage des divisions équidistantes qui permettent les branchements, les correspondances entres elles qui est entre autres le but de cette exploration.

. 5 échelles séparent régulièrement les échelles multiples du ton.

. en gras les divisions supérieures au 1/16e de ton (96√2).

. Les échelles premières cernent les échelles qui divisent le ton (6√2).

...

Opérons une projection de ces échelles afin de découvrir celles qui ignorent les intervalles redondants tels que 8ve, 5te 4te 3ce et ton :

Commançons par les divisions aux puissances premières :

rang racine rapport
(ratio) 		cents
1: 5 5√2 = 1,1487 240
2: 7 7√2 = 1,10409 171,43...
3: 11 11√2 = 1,06504 109,09..
4: 13 13√2 = 1,05477 62,307...
5: 17 17√2 = 1,04162 70,588...
6: 19 19√2 = 1,03716 63,157...
7: 23 23√2 = 1,0306 52,174...
8: 29 29√2 = 1,02419 41,379...
9: 31 31√2 = 1,02261 38,709...
10: 37 37√2 = 1,01891 32,432...
11: 41 41√2 = 1,01705 29,268...
12: 43 43√2 = 1,01625 27,907...
13: 47 47√2 = 1,01486 25,532...
14: 53 53√2 = 1,01316 22,641...
15: 59 59√2 = 1,01182 20,338...
16: 61 61√2 = 1,01143 19,67...
17: 67 67√2 = 1,0104 17,91...
18: 71 71√2 = 1,00981 17,14...
19: 73 73√2 = 1,00954 16,43...
20: 79 79√2 = 1,00881 15,18...
21: 83 83√2 = 1,00839 14,45...
22: 89 89√2 = 1,00782 13,48...
23: 97 97√2 = 1,00717 12,37...
24: 101 101√2 = 1,00689 11,88..

Pierre Barbaud en nommant l'échelle tempérée de 12 tons (1/2 tons) Z12, nous ouvre une voie : les 8 échelles basées sur la division du ton telles que : 1/16e de ton, 1/15e de ton, 1/14e de ton, 1/13e de ton, 1/12e de ton, 1/11e de ton, 1/10e de ton et 1/9e de ton se nomme dans la continuité de Pierre Barbaud : Z96, Z90, Z84, Z78, Z72, Z66, Z60 et Z54. Ces appellations sont liées à leur nombre de divisions dans l'octave. Nous allons donc rechercher des échelles nonoctaviantes des autres divisions de l'octave et en particulier les divisions premières (par des nombres premiers).

Z5

6/5e de ton
240 cents
5√2 = 1,1487 (ratio)

Des échelles multiples de l'échelle octaviante Z5, lesquelles sont nonoctaviantes ?

Z5 = { (5√2)1 ; (5√2)2 ; (5√2)3 ; (5√2)4 ; (5√2)5 }

(5√2)2 - octaviation à 4 (dbl 8ve) au 5e degré
(5√2)3 - octaviation à 8 (trpl 8ve) au 5e degré
(5√2)4 - octaviation à 16 (qdrpl 8ve) au 5e degré

Z7

6/7e de ton
171,43 cents
7√2 = 1,10409

Des échelles multiples de l'échelle octaviante Z7, lesquelles sont nonoctaviantes ?

Z7 = { (7√2)1 ; (7√2)2 ; (7√2)3 ; (7√2)4 ; (7√2)5 ; (7√2)6 ; (7√2)7 }

(7√2)2 - octaviation à 4 (2ble 8ve) au 7e degré
(7√2)3 - octaviation à 8 (3ple 8ve) au 7e degré
(7√2)4 - octaviation à 16 (4ple 8ve) au 7e degré
(7√2)5 - octaviation à 32 (5ple 8ve) au 7e degré
(7√2)6 - octaviation à 64 (6ple 8ve) au 7e degré

Z11

6/11e de ton
109,09 cents
11√2 = 1,06504

Des échelles multiples de l'échelle octaviante Z11, lesquelles sont nonoctaviantes ?

Z11 = { (11√2)1 ; (11√2)2 ; (11√2)3 ; (11√2)4 ; (11√2)5 ; (11√2)6 ; (11√2)7 ; (11√2)8 ; (11√2)9 ; (11√2)10 ; (11√2)11 }

(11√2)2 - octaviation à 4 (2ble 8ve) au 11e degré

...

Z13

Des échelles multiples de l'échelle octaviante Z13, lesquelles sont nonoctaviantes ?

Z13 = { (13√2)1 ; (13√2)2 ; (13√2)3 ; (13√2)4 ; (13√2)5 ; (13√2)6 ; (13√2)7 ; (13√2)8 ; (13√2)9 ; (13√2)10 ; (13√2)11 ; (13√2)12 ; (13√2)13

...

Z17

Des échelles multiples de l'échelle octaviante Z17, lesquelles sont nonoctaviantes ?

Z17 = { (17√2)1 ; (17√2)2 ; (17√2)3 ; (17√2)4 ; (17√2)5 ; (17√2)6 ; (17√2)7 ; (17√2)8 ; (17√2)9 ; (17√2)10 ; (17√2)11 ; (17√2)12 ; (17√2)13 ; (17√2)14 ; (17√2)15 ; (17√2)16 ; (17√2)17 }

...

Z19

Des échelles multiples de l'échelle octaviante Z19, lesquelles sont nonoctaviantes ?

Z19 = { (19√2)1 ; (19√2)2 ; (19√2)3 ; (19√2)4 ; (19√2)5 ; (19√2)6 ; (19√2)7 ; (19√2)8 ; (19√2)9 ; (19√2)10 ; (19√2)11 ; (19√2)12 ; (19√2)13 ; (19√2)14 ; (19√2)15 ; (19√2)16 ; (19√2)17 ; (19√2)18 ; (19√2)19 }

...

Z23

Des échelles multiples de l'échelle octaviante Z23, lesquelles sont nonoctaviantes ?

Z23 = { (23√2)1 ; (23√2)2 ; (23√2)3 ; (23√2)4 ; (23√2)5 ; (23√2)6 ; (23√2)7 ; (23√2)8 ; (23√2)9 ; (23√2)10 ; (23√2)11 ; (23√2)12 ; (23√2)13 ; (23√2)14 ; (23√2)15 ; (23√2)16 ; (23√2)17 ; (23√2)18 ; (23√2)19 ; (23√2)20 ; (23√2)21; (23√2)22 ; (23√2)23 }

...

Z29

...

Z31

...

Z37

 

Z41

 

Z43

 

Z47

 

...

 

Z101

 

Z101

 

 

au hasard et pour commencer avec simplicité :

Z40

Les échelles nonoctaviantes multiples de l'échelle octaviante Z40 (40 degrés octaviants) sachant sa symétrie cyclique avec l'intervalle redondant 4+

3/20e de ton
30 cents
40√2 = 1,01748... (rapport)

(en fractions de ton)
Z40 = { 3/20 ; 3/10 ; 9/20 ; 3/5 ; 15/20 ; 9/10 ; 21/20 ; 6/5 ; 27/20 ; 28/20 ; 29/20 ; 3/2 ; 31/20 ; 8/5 ; 33/20 ; 7/10 ; 7/4 ; 9/5 ; 37/20 ; 19/10 ; 39/20 ; 2 ; 41/20 ; 21/10 ; 43/20 ; 11/5 ; 9/4 ; 23/10 ; 47/20 ; 12/5 ; 49/20 ; 5/2 ; 51/20 ; 13/5 ; 53/20 ; 27/10 ; 11/4 ; 14/5 ; 57/20 ; 29/10 ; 59/20 ; 6/2 }

(en fractions d'octave) not sure
Z40 = {1/40 ; 1/20 ; 3/40 ; 1/10 ; 1/8 ; 6/40 ; 7/40 ; 8/40 ; 9/40 ; 10/40 ; 11/40 ; 12/40 ; 13/40 ; 14/40 ; 15/40 ; 16/40 ; 17/40 ; 18/40 ; 19/40 ; 20/40 ; 21/40 ; 22/40 ; 23/40 ; 24/40 ; 25/40 ; 26/40 ; 27/40 ; 28/40 ; 29/40 ; 30/40 ; 31/40 ; 32/40 ; 33/40 ; 34/40 ; 35/40 ; 36/40 ; 37/40 ; 38/40 ; 39/40 ; 1 }

(en cents)
Z40 = { 30 ; 60 ; 90 ; 120 ; 150 ; 180 ; 210 ; 240 ; 270 ; 300 ; 330 ; 360 ; 390 ; 420 ; 450 ; 480 ; 510 ; 540 ; 570 ; 600 ; 630 ; 660 ; 690 ; 720 ; 750 ; 780 ; 810 ; 840 ; 870 ; 900 ; 930 ; 960 ; 990 ; 1200 }

(en logarithmes)
Z40 = { (40√2)1 ; (40√2)2 ; (40√2)3 ; (40√2)4 ; (40√2)5 ; (40√2)6 ; (40√2)7 ; (40√2)8 ; (40√2)9 ; (40√2)10 ; (40√2)11 ; (40√2)12 ; (40√2)13 ; (40√2)14 ; (40√2)15 ; (40√2)16 ; (40√2)17 ; (40√2)18 ; (40√2)19 ; (40√2)20 ; (40√2)21; (40√2)22 ; (40√2)23 ; (40√2)24 ; (40√2)25 ; (40√2)26 ; (40√2)27 ; (40√2)28 ; (40√2)29 ; (40√2)30 ; (40√2)31 ; (40√2)32 ; (40√2)33 ; (40√2)34 ; (40√2)35 ; (40√2)36 ; (40√2)37 ; (40√2)38 ; (40√2)39 ; (40√2)40 }

 

...

 

 

Remarque :
Les nombres ne sont jamais exacts (absolus), ils changent en fonction du contexte, tout comme notre perception, il existe ce que l’on nomme « une marge d’erreur » qui nous oblige toujours à l’approximation. Mais certaines perceptions soniques sont mémorisées de façon très précise : « un petit mouvement sur le côté » et la sensation sonique n’est plus la même. L'écoute est une perception très (r)affinée pour détecter des moindres changements de sonorité. La sonorité est une donnée qualitative très précise (malgré l'attraction des « trous noirs » culturels). Nous utilisons les nombres comme repaires afin de se rendre compte des proportions qui nous concernent dans les intervalles et les correspondances.

 

Tout comme pour les échelles divisant le ton, projettons avec les échelles divisant l'octave mais pas le ton, leurs échelles multiples non octaviantes pour découvrir leurs propriétés et leurs relations avec les échelles projetées issues de la division du ton.

...

 

 

A la recherche des échelles nonoctaviantes dans la division des nonoctaves éléments de Z12

A la recherche des échelles nonoctaviantes à partir des intervalles de la série harmonique

Les échelles : les suites en séries infinies pour les hôtes ou le savoir scalaire

Comment noter toutes les échelles pour les musiciens ?

L'harmonie nonoctaviante, révolution musicale

Théorie des Champs Scalaires

 

suite

re tour à la table des matières